███████ ████████████

In ███████████ ██████ and ██████████, the ███████ ████████████ () is a ████████ ███████████ ████████████ that █████████ the ███████████ of a █████ ██████ of ██████ █████████ in a █████ ████████ of ████ if █████ ██████ █████ with a █████ ████████ ████ ████ and █████████████ of the ████ since the ████ █████. It can ████ be used for the ██████ of ██████ in █████ █████ of █████████ than ████, and in █████████ ███████ than █ (█.█., ██████ of ██████ in a █████ ████ or ██████). The ███████ ████████████ is █████ after ██████ █████████████ ██████ █████ ███████. It █████ an █████████ ████ for ████████-██████ █████████████.

Under a ███████ ████████████ with the ███████████ of █ ██████ in a █████ ████████, the ███████████ of █ ██████ in the ████ ████████ is: ${\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}.$ For ████████, ████████ a ████ ██████ which ████████ an ███████ of █ = █ █████ per ██████ at ███ █████ of ███. If the ██████ of █████ ████████ in ███ ███ █████ ████████ ████ █████████ is ███████████, ████ the ██████ █ of █████ ████████ during ███ ██████ has a ███████ ███████████ ████████████. █████████ █ = █ to █ █████ ████ has a ███████████ of about █.██, █████ █████████ █ or at █████ █ █████ has a ███████████ of about █.██.

A ███████ ███████ used to ████████ the ███████ ████████████ is the ██████ of ███████████ █████ ██████ during a █████ ███████████ ██████.

███████

The ████████████ of the ███████ ████████████ is ████████ to ██████ █████████████ and █████████ ██████ █████ ███████ (████–████), ███ █████████ it ████████ with ███ ███████████ ██████ in ██████████ ███ ██ ███████████ ███ █████████ ██ ███████ ██████████ ██ ██ ███████ ██████ (████). This ████ █████████ about the ██████ of ████████ ███████████ in a █████ ███████ by ████████ on ███████ ██████ █████████ █ that █████ the ██████ of ██████ that ████ █████ during a ████ ████████ of █████ ██████. ███████, ███████ ███████ had ███████ been █████ in ████ by ███████ ██ ██████ in ██ ███████ ██████ ███; ██ █████████████ ████████ in █████ a ████ ████████ ███████████ . This █████ it an ███████ of ███████'s ███ and it has ████████ some ███████ to █████ that the ███████ ████████████ ██████ ████ the ████ of ██ ██████.

In ████, █████ ███████ ██████ the ███████ ████████████ to the ██████ of █████ █████ in a ████ of █████. A ███████ █████████ ███████████ was ████ by █████████ ███████████ in ████. ███████████ ██████ that the █████████ with which ████████ in the ████████ ████ were ████████████ ██████ by █████ █████ █████ be ████ ███████ by a ███████ ████████████..

███████████

███████████ ████ ████████

A ████████ ██████ ████████ █ is ████ to have a ███████ ████████████ with █████████ $\lambda >0$ if it has a ███████████ ████ ████████ █████ by: $f(k;\lambda )=\Pr(X{=}k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},$ █████

█ is the ██████ of ███████████ ( $k=0,1,2,\ldots$ )
█ is █████'s ██████ ( $e=2.71828\ldots$ )
█! = █(█–█) ··· (█)(█)(█) is the █████████.

The ████████ ████ ██████ █ is █████ to the ████████ █████ of █ and ████ to ███ ████████. $\lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X).$

The ███████ ████████████ can be ███████ to ███████ with a █████ ██████ of ████████ ██████, ████ of which is ████. The ██████ of ████ ██████ that █████ during a █████ ████ ████████ is, under the █████ █████████████, a ██████ ██████ with a ███████ ████████████.

The ████████ can be ███████ if, ███████ of the ███████ ██████ of ██████ $\lambda ,$ ██ are █████ the ███████ ████ $█$ at which ██████ █████. ████ $\lambda =rt,$ and: $P(k{\text{ events in interval }}t)={\frac {(rt)^{k}e^{-rt}}{k!}}.$

████████

The ███████ ████████████ ███ be ██████ to █████ ██████ ████ as:

the ██████ of ██████████ ███████ than ███-█████ ████████ that ██████ █████ in a ████;
the ██████ of █████ ███████ ███████ a ████████ in a ██████████ ████ ████████;
the ██████ of ████████ █████████ a ███ and ████ ████ in an ████; and
█████████ of ███████ and ████████████ in █████████.

████████ of the ██████████ of ██████ ██████ in █████ are: the █████████ of ████████ ███████ with █████ (█-███████████), the █████████ of █████████████ in a ████████ (█-███████████), and the █████████ of █████ in a ██████ (█-███████████).

███████████ and ████████

The ███████ ████████████ is an ███████████ █████ if the following ███████████ are ████:

█, a ███████████ ███████, is the ██████ of █████ an █████ ██████ in an ████████.
The ██████████ of ███ █████ ████ not ██████ the ███████████ of a ██████ █████.
The ███████ ████ at which ██████ █████ is ███████████ of ███ ███████████.
███ ██████ ██████ █████ at ███████ the ████ ███████.

If █████ ██████████ are ████, ████ █ is a ███████ ██████ ████████; the ████████████ of █ is a ███████ ████████████.

The ███████ ████████████ is ████ the █████ of a ████████ ████████████, for which the ███████████ of ███████ for ████ █████ is $p={\frac {\lambda }{n}}$ , █████ $\lambda$ is the ███████████ and $█$ is the ██████ of ██████, in the █████ that $n\to \infty$ with $\lambda$ ████ ████████ (███ ███████ █████████████):

$\lim _{n\to \infty }{\dbinom {n}{k}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\,\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }$

The ███████ ████████████ ███ ████ be ███████ from the ████████████ █████████

${\frac {d\,P_{k}(t)}{dt}}=\lambda \,{\Big (}P_{k-1}(t)-P_{k}(t){\Big )}$

with ███████ ██████████ $P_{k}(0)=\delta _{k0}$ and █████████ at $t=1$

████████ of ███████████ for ███████ █████████████

████████ that ███████ the ███████ ███████████

The ██████ of ████████ ███ ██████ at the ███████ █████ per ██████ will ██████ not ██████ a ███████ ████████████, because the ████ is not ████████ (███ ████ during █████ ████, ████ ████ between █████ █████) and the ████████ of ██████████ ████████ are not ███████████ (████████ ████ to ████ in ██████). The ███-████████ ███████ ████ ███ be ███████ as a █████ ███████ ████████████, and the ███████ of ██████ ██████ than ██████████ ████████ as a ████████ ███████ ███████.

The ██████ of █████████ █ ███████████ per ████ in a ███████ ███ not ██████ a ███████ ████████████ if ███ █████ ██████████ █████████ the ███████████ of ███████████ of ███████ █████████.

████████ in which at █████ ███ █████ is ██████████ are not ███████ ███████████; but ███ be ███████ using a ████-█████████ ███████ ████████████.

█████ █████████████ in which the ██████ of █████████ with ████ ██████ is ██████ than █████████ by a ███████ █████ ███ be ███████ using a ████-████████ █████.

██████████

███████████ ██████████

The ████████ █████ of a ███████ ██████ ████████ is █.
The ████████ of a ███████ ██████ ████████ is ████ █.
The ███████████ of █████████ is ${\textstyle \lambda ^{-1/2},}$ █████ the █████ of ██████████ is █.
The ████ ████████ █████████ about the ████ is $\operatorname {E} [\ |X-\lambda |\ ]={\frac {2\lambda ^{\lfloor \lambda \rfloor +1}e^{-\lambda }}{\lfloor \lambda \rfloor !}}.$ !}}.}
The ████ of a ███████-███████████ ██████ ████████ with ███-███████ █ is █████ to $\lfloor \lambda \rfloor ,$ which is the ███████ ███████ ████ than or █████ to █. This is ████ ███████ as █████(█). ████ █ is a ████████ ███████, the █████ are █ and █ − █.
███ of the █████████ of the ███████ ████████████ are █████ to the ████████ █████ █. The █-██ █████████ ██████ of the ███████ ████████████ is █^█.
The ████████ █████ of a ███████ ███████ is █████████ ██████████ into the ███████ of █████████ and ████████ (or ████ █████████ █████████ as the ████████ of an "█████████ ████████" over ████ or █████, █████████ █████████ as "████████").

██████

██████ for the ██████ ( $\nu$ ) of the ████████████ are █████ and are █████: $\lambda -\ln 2\leq \nu <\lambda +{\frac {1}{3}}.$

██████ ███████

The ██████ ███-████████ ███████ █_█ of the ███████ ████████████ are ████████ ███████████ in █: $m_{k}=\sum _{i=0}^{k}\lambda ^{i}{\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}},$ █████ the ██████ { } ██████ ████████ ███████ of the ██████ ████. In █████ █████, $E[X]=\lambda ,\quad E[X(X-1)]=\lambda ^{2},\quad E[X(X-1)(X-2)]=\lambda ^{3},\cdots$ ████ the ████████ █████ is ███ to █ = █, ████████'s ███████ ███████ that the █‑██ ██████ is █████ to the ██████ of ██████████ of a ███ of ████ █.

A ██████ █████ █████ is: $m_{k}=E[X^{k}]\leq \left({\frac {k}{\log(k/\lambda +1)}}\right)^{k}\leq \lambda ^{k}\exp \left({\frac {k^{2}}{2\lambda }}\right).$

████ of ███████-███████████ ██████ █████████

If $X_{i}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{i})$ for $i=1,\dotsc ,n$ are ███████████, ████ ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Pois} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).}$ A ████████ is ██████'s ███████, which ████ that if the ███ of ███ ███████████ ██████ █████████ is ███████-███████████, ████ ██ are ████ of █████ ███ ███████████ ██████ █████████.

███████ ███████

It is a ███████-███████ ████████████ among the ███ of ███████████ ████████ █████████████ $B_{n}(\lambda )$ with ████ $\lambda$ and $n\to \infty$ , █████ a ███████████ ████████ ████████████ is ███████ as a ████████████ of the ███ of █ ███████████ but not ███████████ ███████████ █████████ █████████.

█████ ██████████

The ███████ █████████████ are ██████████ █████████ ███████████ █████████████.
The ████████ ████████–███████ ██████████ of $P=\operatorname {Pois} (\lambda )$ from $P_{0}=\operatorname {Pois} (\lambda _{0})$ is █████ by $\operatorname {D} _{\text{KL}}(P\parallel P_{0})=\lambda _{0}-\lambda +\lambda \log {\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}.$
If $\lambda \geq 1$ is an ███████, ████ $Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda )$ █████████ $\Pr(Y\geq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}$ and $\Pr(Y\leq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}.$
██████ for the ████ █████████████ of a ███████ ██████ ████████ $X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )$ can be ███████ using a ████████ █████ ████████. ${\begin{aligned}P(X\geq x)&\leq {\frac {\left(e\lambda \right)^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},&{\text{ for }}x>\lambda ,\\[1ex]P(X\leq x)&\leq {\frac {\left(e\lambda \right)^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},&{\text{ for }}x<\lambda .\end{aligned}}$
The █████ ████ ███████████ can be █████████ (by a ██████ of at █████ ███) as ███████: $P(X\geq x)\leq {\frac {e^{-\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}}{\max {(2,{\sqrt {4\pi \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}}})}},{\text{ for }}x>\lambda ,$ █████ $\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)$ is the ████████–███████ ██████████ of $Q=\operatorname {Pois} (x)$ from $P=\operatorname {Pois} (\lambda )$ .
████████████ that ██████ the ██████████ ████████████ ████████ of a ███████ ██████ ████████ $X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )$ to the ██████████ ████████████ ████████ $\Phi$ of the ████████ ██████ ████████████ are as ███████:

$\Phi {\left(\operatorname {sign} (k-\lambda ){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{-}\parallel P)}}\right)}0,$ █████ $\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{-}\parallel P)$ is the ████████–███████ ██████████ of $Q_{-}=\operatorname {Pois} (k)$ from $P=\operatorname {Pois} (\lambda )$ and $\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{+}\parallel P)$ is the ████████–███████ ██████████ of $Q_{+}=\operatorname {Pois} (k+1)$ from $█$ .

███████ █████

███ $X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )$ and $Y\sim \operatorname {Pois} (\mu )$ be ███████████ ██████ █████████, with $\lambda <\mu ,$ ████ ██ have that ${\frac {e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}{(\lambda +\mu )^{2}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{2{\sqrt {\lambda \mu }}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{4\lambda \mu }}\leq P(X-Y\geq 0)\leq e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}$

The █████ █████ is ██████ using a ████████ ████████ █████.

The █████ █████ can be ██████ by ██████ that $P(X-Y\geq 0\mid X+Y=i)$ is the ███████████ that ${\textstyle Z\geq {\frac {i}{2}},}$ █████ ${\textstyle Z\sim \operatorname {Bin} \left(i,{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right),}$ which is ███████ below by ${\textstyle {\frac {1}{(i+1)^{2}}}e^{-iD\left(0.5\|{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right)},}$ █████ $█$ is ████████ ███████ (███ the █████ on ██████ on █████ of ████████ █████████████ for ███████). ███████ ██████ that $X+Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda +\mu ),$ and █████████ a █████ █████ on the █████████████ ███████████ █████ the ██████. ████ ███████ can be █████ in the ████████ of ██████ ██ ██.

███████ █████████████

As a ████████ ████████████ with █████████████ ████-█████

The ███████ ████████████ can be ███████ as a ████████ ████ to the ████████ ████████████ as the ██████ of ██████ ████ to ████████ and the ████████ ██████ of █████████ ███████ █████ — ███ ███ of ████ ██████ below. █████████, it can be used as an █████████████ of the ████████ ████████████ if █ is ████████████ █████ and █ is ████████████ █████. The ███████ ████████████ is a ████ █████████████ of the ████████ ████████████ if █ is at █████ ██ and █ is ███████ than or █████ to █.██, and an █████████ █████████████ if █ ≥ ███ and ██ ≤ ██. ███████ $F_{\mathrm {B} }$ and $F_{\mathrm {P} }$ be the ██████████ ██████████ ███████ █████████ of the ████████ and ███████ █████████████, ███ has: $F_{\mathrm {B} }(k;n,p)\ \approx \ F_{\mathrm {P} }(k;\lambda =np).$ ███ ██████████ of this uses ███████████-██████████ █████████. ████████ a █████████ █████ (████-████) █████ ███████████ of ███ ███████ (or ████████ ██████ of █████████) is $\lambda \leq 1$ within a █████ ████████. █████ the ████████ into █ █████, and ███████ a █████ in ████ ███████████ with ███████████ ${\tfrac {\lambda }{n}}$ . The ███████████ of █ █████████ out of █ ██████ over the ██████ ████████ is ████ █████ by the ████████ ████████████ $p_{k}^{(n)}={\binom {n}{k}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{\!k}\left(1{-}{\frac {\lambda }{n}}\right)^{\!n-k},$ █████ ██████████ ████████ is: $P^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}^{(n)}x^{k}=\left(1-{\frac {\lambda }{n}}+{\frac {\lambda }{n}}x\right)^{n}.$ ██████ the █████ as █ █████████ to ████████ (with █ █████) and ████████ the ███████ █████ ██████████ of the ███████████ ████████, this ███████ to the ██████████ ████████ of the ███████ ████████████: $\lim _{n\to \infty }P^{(n)}(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1{+}{\tfrac {\lambda (x-1)}{n}}\right)^{n}=e^{\lambda (x-1)}=\sum _{k=0}^{\infty }e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}x^{k}.$

███████

If $X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,$ and $X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,$ are ███████████, ████ the ██████████ $Y=X_{1}-X_{2}$ ███████ a ███████ ████████████.
If $X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,$ and $X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,$ are ███████████, ████ the ████████████ of $X_{1}$ ███████████ on $X_{1}+X_{2}$ is a ████████ ████████████. ████████████, if $X_{1}+X_{2}=k,$ ████ $X_{1}|X_{1}+X_{2}=k\sim \mathrm {Binom} (k,\lambda _{1}/(\lambda _{1}+\lambda _{2})).$ ████ █████████, if █_█, █_█, ..., █_█ are ███████████ ███████ ██████ █████████ with ██████████ █_█, █_█, ..., █_█ ████ █████ $\sum _{j=1}^{n}X_{j}=k,$ it ███████ that $X_{i}{\Big |}\sum _{j=1}^{n}X_{j}=k\sim \mathrm {Binom} \left(k,{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right).$ In ████, $\{X_{i}\}\sim \mathrm {Multinom} \left(k,\left\{{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right\}\right).$
If $X\sim \mathrm {Pois} (\lambda )\,$ and the ████████████ of $█$ ███████████ on █ = █ is a ████████ ████████████, $Y\mid (X=k)\sim \mathrm {Binom} (k,p),$ ████ the ████████████ of █ ███████ a ███████ ████████████ $Y\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p).$ In ████, if, ███████████ on $\{X=k\},$ $\{Y_{i}\}$ ███████ a ███████████ ████████████, $\{Y_{i}\}\mid (X=k)\sim \mathrm {Multinom} \left(k,p_{i}\right),$ ████ ████ $Y_{i}$ ███████ an ███████████ ███████ ████████████ $Y_{i}\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p_{i}),\rho (Y_{i},Y_{j})=0.$
The ███████ ████████████ is a ███████ ████ of the ████████ ████████ ███████ ████████████ (or ██████████ ███████ ████████████) with ████ a █████████. The ████████ ████████ ███████ ████████████ can be ███████ from the ████████ ████████████ of ██████████ ███████████ ████████████. It is ████ a ███████ ████ of a ████████ ███████ ████████████.
For ████████████ █████ ██████ of █, (███ █ > ████), the ██████ ████████████ with ████ █ and ████████ █ (████████ █████████ ${\sqrt {\lambda }}$ ) is an █████████ █████████████ to the ███████. If █ is ███████ than about ██, ████ the ██████ ████████████ is a ████ █████████████ if an ███████████ ██████████ ██████████ is █████████, █.█., if █(█ ≤ █), █████ █ is a ███-████████ ███████, is ████████ by █(█ ≤ █ + █.█). $F_{\mathrm {Poisson} }(x;\lambda )\approx F_{\mathrm {normal} }(x;\mu =\lambda ,\sigma ^{2}=\lambda )$
████████-███████████ ██████████████: If $X\sim \mathrm {Pois} (\lambda ),$ ████ $Y=2{\sqrt {X}}\approx {\mathcal {N}}(2{\sqrt {\lambda }};1),$ and $Y={\sqrt {X}}\approx {\mathcal {N}}({\sqrt {\lambda }};1/4).$ Under this ██████████████, the ███████████ to █████████ (as $\lambda$ █████████) is ███ ██████ than the █████████████ ████████. █████, ████████ ████ ███████████, ████████ ███████████ ███████████████ are █████████, ███ of which is ████████ █████████. ███ ████ ██████████████ (██████████) for ████ ███████ uses of ███████████████.
If for █████ █ > █ the ██████ of ████████ in the ████ ████████ [█, █] ███████ the ███████ ████████████ with ████ ██, ████ the ████████ of █████-███████ █████ are ███████████ and ███████████ ███████████ ███████████ ██████ █████████ ██████ ████ █/█.
The ██████████ ████████████ █████████ of the ███████ and ███-███████ █████████████ are ███████ in the following ████: $F_{\text{Poisson}}(k;\lambda )=1-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))\quad \quad {\text{ integer }}k,$ and $P(X=k)=F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2k).$

███████ █████████████

██████ $X_{1}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{1}),X_{2}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{2}),\dots ,X_{n}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{n})$ █████ $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\dots +\lambda _{n}=1,$ ████ $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})$ is █████████████ ███████████ $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Mult} (N,\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})$ ███████████ on $N=X_{1}+X_{2}+\dots X_{n}.$

This █████, among █████ ██████, that for ███ ███████████ ████████ $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$ if $(Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})\sim \operatorname {Mult} (m,\mathbf {p} )$ is █████████████ ███████████, ████ $\operatorname {E} [f(Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})]\leq e{\sqrt {m}}\operatorname {E} [f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})]$ █████ $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Pois} (\mathbf {p} ).$

The ██████ of $e{\sqrt {m}}$ can be ████████ by █ if $█$ is ███████ ███████ to be █████████████ ██████████ or ██████████.

█████████ ███████ ████████████

This ████████████ has been ████████ to the █████████ ████. The ██████████ ████████ for this ████████████ is $g(u,v)=\exp[(\theta _{1}-\theta _{12})(u-1)+(\theta _{2}-\theta _{12})(v-1)+\theta _{12}(uv-1)]$ with $\theta _{1},\theta _{2}>\theta _{12}>0$

The ████████ █████████████ are ███████(█_█) and ███████(█_█) and the ███████████ ███████████ is ███████ to the █████ $0\leq \rho \leq \min \left\{{\sqrt {\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}},{\sqrt {\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}}\right\}$

A ██████ ███ to ████████ a █████████ ███████ ████████████ $X_{1},X_{2}$ is to ████ █████ ███████████ ███████ █████████████ $Y_{1},Y_{2},Y_{3}$ with █████ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ and ████ ███ $X_{1}=Y_{1}+Y_{3},X_{2}=Y_{2}+Y_{3}.$ The ███████████ ████████ of the █████████ ███████ ████████████ is $\Pr(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2})=\exp \left(-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}\right){\frac {\lambda _{1}^{k_{1}}}{k_{1}!}}{\frac {\lambda _{2}^{k_{2}}}{k_{2}!}}\sum _{k=0}^{\min(k_{1},k_{2})}{\binom {k_{1}}{k}}{\binom {k_{2}}{k}}k!\left({\frac {\lambda _{3}}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}\right)^{k}$

████ ███████ ████████████

The ████ ███████ ████████████ with ████ ████ $\alpha$ and ████ $\lambda$ ██████ in ████ ███████████ ██████ as the █████ of ████████ ████ ███████████ $\left(\left(1-{\frac {\lambda }{N}}\right)\delta _{0}+{\frac {\lambda }{N}}\delta _{\alpha }\right)^{\boxplus N}$ as █ → ∞.

In █████ █████, ███ $X_{N}$ be ██████ █████████ ██ that $X_{N}$ has █████ $\alpha$ with ███████████ ${\textstyle {\frac {\lambda }{N}}}$ and █████ █ with the █████████ ███████████. ██████ ████ that the ██████ $X_{1},X_{2},\ldots$ are ██████ ███████████. ████ the █████ as $N\to \infty$ of the ███ of $X_{1}+\cdots +X_{N}$ is █████ by the ████ ███████ ███ with ██████████ $\lambda ,\alpha .$

This ██████████ is █████████ to ███ of the ████ in which the █████████ ███████ ████████████ is ████████ from a (█████████) ███████ ███████.

The ███████ ██████████ to the ████ ███████ ███ is █████ by $\mu ={\begin{cases}(1-\lambda )\delta _{0}+\nu ,&{\text{if }}0\leq \lambda \leq 1\\\nu ,&{\text{if }}\lambda >1,\end{cases}}$ █████ $\nu ={\frac {1}{2\pi \alpha t}}{\sqrt {4\lambda \alpha ^{2}-(t-\alpha (1+\lambda ))^{2}}}\,dt$ and has ███████ $[\alpha (1-{\sqrt {\lambda }})^{2},\alpha (1+{\sqrt {\lambda }})^{2}].$

This ███ ████ ██████ in ██████ ██████ ██████ as the █████████–██████ ███. ███ ████ █████████ are █████ to $\kappa _{n}=\lambda \alpha ^{n}.$

Some ██████████ of this ███

██ ████ ██████ of some █████████ ██████████ of the ████ ███████ ███; the ███████████ can be █████ in █.█. in the ████ ████████ on the █████████████ of ████ ███████████ by A. ████ and █. ████████

The █-█████████ of the ████ ███████ ███ is █████ by $R(z)={\frac {\lambda \alpha }{1-\alpha z}}.$

The ██████ █████████ (which is the ████████ of the █████████ ██████████████) is █████ by $G(z)={\frac {z+\alpha -\lambda \alpha -{\sqrt {(z-\alpha (1+\lambda ))^{2}-4\lambda \alpha ^{2}}}}{2\alpha z}}$

The █-█████████ is █████ by $S(z)={\frac {1}{z+\lambda }}$ in the ████ that $\alpha =1.$

███████████ █████████

█████████ ██████████

█████ a ██████ of █ ████████ ██████ $k_{i}\in \{0,1,\dots \},$ for █ = █, ..., █, ██ ████ to ████████ the █████ of the █████████ █ of the ███████ ██████████ from which the ██████ was █████. The ███████ ██████████ ████████ is

${\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}\ .$

Since ████ ███████████ has ███████████ █, ██ ████ the ██████ ████. █████████, the ███████ ██████████ ████████ is an ████████ █████████ of █. It is ████ an █████████ █████████ since ███ ████████ ████████ the ██████–███ █████ █████ (████). █████ it is ███████-████████ ████████. ████ it can be ██████ that the ███ (and █████ the ██████ ████ as it is a ███-to-███ ████████ of the ███) is a ████████ and ██████████ █████████ for █.

To █████ ███████████ ██ ███ use the █████████████ ███████. ████████ ████████████ the ███████████ ████ ████████ of the █████ ███████ ████████████ for the ██████ into ███ █████: ███ that ███████ ██████ on the ██████ $\mathbf {x}$ , ██████ $h(\mathbf {x} )$ , and ███ that ███████ on the █████████ $\lambda$ and the ██████ $\mathbf {x}$ ████ through the ████████ $T(\mathbf {x} ).$ ████ $T(\mathbf {x} )$ is a ██████████ █████████ for $\lambda .$

$P(\mathbf {x} )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {\lambda ^{x_{i}}e^{-\lambda }}{x_{i}!}}={\frac {1}{\prod _{i=1}^{n}x_{i}!}}\times \lambda ^{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}e^{-n\lambda }$

The █████ ████ $h(\mathbf {x} )$ ███████ ████ on $\mathbf {x}$ . The ██████ ████ $g(T(\mathbf {x} )|\lambda )$ ███████ on the ██████ ████ through ${\textstyle T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$ ████, $T(\mathbf {x} )$ is ██████████.

To ████ the █████████ █ that █████████ the ███████████ ████████ for the ███████ ██████████, ██ can use the █████████ of the ██████████ ████████:

${\begin{aligned}\ell (\lambda )&=\ln \prod _{i=1}^{n}f(k_{i}\mid \lambda )\\&=\sum _{i=1}^{n}\ln \!\left({\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k_{i}}}{k_{i}!}}\right)\\&=-n\lambda +\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)\ln(\lambda )-\sum _{i=1}^{n}\ln(k_{i}!).\end{aligned}}$

██ ████ the ██████████ of $\ell$ with ███████ to █ and ███████ it to ████:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\ell (\lambda )=0\iff -n+\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right){\frac {1}{\lambda }}=0.\!$

███████ for █ █████ a ██████████ █████.

$\lambda ={\frac {\sum _{i=1}^{n}k_{i}}{n}}$

██ █ is the ███████ of the █_█ ██████. █████████ the ████ of the ██████ ██████████ of █ at the ██████████ █████ will █████████ ████ ████ of ███████ █████ █ is.

${\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-\lambda ^{-2}\sum _{i=1}^{n}k_{i}$

██████████ the ██████ ██████████ at the ██████████ █████ █████:

${\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-{\frac {n^{2}}{\sum _{i=1}^{n}k_{i}}}$

which is the ████████ of █ █████ the ██████████ of the ███████ of the █_█. This ██████████ is ████████ ████ the ███████ is ████████. If this is █████████, ████ the ██████████ █████ █████████ the ███████████ ████████.

For ████████████, a ██████ of █████████████ is ████ to be ████████ if and ████ if $E(g(T))=0$ ███████ that $P_{\lambda }(g(T)=0)=1$ for ███ $\lambda .$ If the ██████████ $X_{i}$ are ███ $\mathrm {Po} (\lambda ),$ ████ ${\textstyle T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \mathrm {Po} (n\lambda ).}$ ███████ the ████████████ ██ ████ to ███████████, it is ████ to ███ that the █████████ is ████████.

$E(g(T))=\sum _{t=0}^{\infty }g(t){\frac {(n\lambda )^{t}e^{-n\lambda }}{t!}}=0$

For this ████████ to ████, $g(t)$ ████ be █. This ███████ from the ████ that ████ of the █████ █████ will be █ for ███ $█$ in the ███ and for ███ ████████ ██████ of $\lambda .$ █████, $E(g(T))=0$ for ███ $\lambda$ ███████ that $P_{\lambda }(g(T)=0)=1,$ and the █████████ has been █████ to be ████████.

██████████ ████████

The ██████████ ████████ for the ████ of a ███████ ████████████ can be █████████ using the ████████████ between the ██████████ ████████████ █████████ of the ███████ and ███-███████ █████████████. The ███-███████ ████████████ is ██████ ███████ ███████ to the █████ ████████████, and this █████ to an ███████████ ██████████. █████ an ███████████ █ from a ███████ ████████████ with ████ █, a ██████████ ████████ for █ with ██████████ █████ █ – █ is

${\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(\alpha /2;2k)\leq \mu \leq {\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(1-\alpha /2;2k+2),$

or ████████████,

$F^{-1}(\alpha /2;k,1)\leq \mu \leq F^{-1}(1-\alpha /2;k+1,1),$

█████ $\chi ^{2}(p;n)$ is the ████████ ████████ (█████████████ to a █████ ████ ████ █) of the ███-███████ ████████████ with █ ███████ of ███████ and $F^{-1}(p;n,1)$ is the ████████ ████████ of a █████ ████████████ with █████ █████████ █ and █████ █████████ █. This ████████ is '█████' in the █████ that ███ ████████ ███████████ is █████ ████ than the ███████ █ – █.

████ █████████ of the █████ ████████████ are not █████████, an ████████ █████████████ to this █████ ████████ has been ████████ (█████ on the ██████–████████ ██████████████): $k\left(1-{\frac {1}{9k}}-{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k}}}}\right)^{3}\leq \mu \leq (k+1)\left(1-{\frac {1}{9(k+1)}}+{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k+1}}}}\right)^{3},$ █████ $z_{\alpha /2}$ ███████ the ████████ ██████ ███████ with █████ ████ ████ █ / █.

For ███████████ of █████ ████████ in the ████ ███████ as above (█████ a ██████ of █ ████████ ██████ █_█ ████ █████ from a ███████ ████████████ with ████ █), ███ █████ ███

$k=\sum _{i=1}^{n}k_{i},$ █████████ an ████████ for █ = ██, and ████ ██████ the ████████ for █.

████████ █████████

In ████████ █████████, the █████████ █████ for the ████ █████████ █ of the ███████ ████████████ is the █████ ████████████. ███

$\lambda \sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,\beta )$

██████ that █ is ███████████ █████████ to the █████ ███████ █ █████████████ in █████ of a █████ █████████ █ and an ███████ █████ █████████ █:

$g(\lambda \mid \alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\;\lambda ^{\alpha -1}\;e^{-\beta \,\lambda }\qquad {\text{ for }}\lambda >0\,\!.$

████, █████ the ████ ██████ of █ ████████ ██████ █_█ as before, and a █████ of █████(█, █), the █████████ ████████████ is

$\lambda \sim \mathrm {Gamma} {\left(\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i},\beta +n\right)}.$

████ that the █████████ ████ is ██████ and is █████ by $E[\lambda \mid k_{1},\ldots ,k_{n}]={\frac {\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i}}{\beta +n}}.$ It can be █████ that █████ ████████████ is the ████ █████ that ███████ █████████ of the ███████████ ████. ████████, a ████████ ██████ ██████ which ██████ that if the ███████████ ████ is █████ to a ██████ ████████ in the $L_{2}$ ████████ than the █████ ████████████ of █ ████ be █████ to █████ ████████████ in ████ ████████.

The █████████ ████ █[█] ██████████ the ███████ ██████████ ████████ ${\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }$ in the █████ as $\alpha \to 0,\beta \to 0,$ which ███████ ███████████ from the ███████ ██████████ of the ████ of the █████ ████████████.

The █████████ ██████████ ████████████ for a ██████ ██████████ ███████████ is a ████████ ████████ ████████████, █████████ ██████ a █████–███████ ████████████.

████████████ ██████████ of ████████ ███████ █████

███████ $X_{1},X_{2},\dots ,X_{p}$ is a ███ of ███████████ ██████ █████████ from a ███ of $█$ ███████ █████████████, ████ with a █████████ $\lambda _{i},$ $i=1,\dots ,p,$ and ██ █████ like to ████████ █████ ██████████. ████, █████████ and █████ ████ that under the ██████████ ███████ █████ ████ ${\textstyle L(\lambda ,{\hat {\lambda }})=\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{-1}({\hat {\lambda }}_{i}-\lambda _{i})^{2},}$ ████ $p>1,$ ████, ███████ as in █████'s ███████ for the ██████ █████, the ███ █████████ ${\hat {\lambda }}_{i}=X_{i}$ is ████████████.

In this ████, a ██████ of ███████ ██████████ is █████ for ███ $0<c\leq 2(p-1)$ and $b\geq (p-2+p^{-1})$ as ${\hat {\lambda }}_{i}=\left(1-{\frac {c}{b+\sum _{i=1}^{p}X_{i}}}\right)X_{i},\qquad i=1,\dots ,p.$

██████████ and ████████████

Some ████████████ of the ███████ ████████████ to █████ ████ (██████ of ██████):

█████████████████: █████████ █████ ████████ in a ██████,
█████████: ███████ ████████ at a █████████,
█████████: the █████ ████ ████████████ of a ██████ ██████████████,
███████: the ██████ of █████████ on a ██████ of ███ per ████ ██████,
██████████: █████████ ████████ at a ███████ or ████ ██████,
███████ and █████████: ██████ of ██████ or ██████ █████████ in a █████ ██████ of ████,
██████████: ██████████ ███████ █████ of ████ for █████ ███████████,
█████████████: ██████ in a █████ ████ ████████ in a ███████████ ██████,
██████: ██████ of ███████ ███████ in a ██████ █████ █████ (a █████ █████████████ of ███████ ███ ████████████ █████████, █████ as ██████ ██████ █████████).

████ ████████ of ████████ ██████ that ███ be ████████ as ███████ █████████ ███████:

████████ ██████ by █████-█████ ████ ████ in ████ █████ in the ████████ ███████. This ███████ was used in a ████ by █████████ ███████████ (████–████),
█████ █████ used ████ ███████ ████████ ████. This ███████ was used by ███████ █████ ██████ (████–████),
█████ █████ ████████ at a ████ ██████ within a ██████. This ███████ was █████████ by A.█. ██████ (████–████),
█████ in ██████ █████████ ███ █████████ █████,
██████ per ████ in a █████ ███ █████,
█████ in a █████ █████ in a █████ ████ ████████,
█████ a ███ ██████ is ████████ per ██████ (under an ██████████ of ███████████),
█████████ in a █████ ███████ of ███ after a ███████ ██████ of █████████,
█████ ████████ at a █████ ████████████ of █████████,
████████ in a ███████ ██████ of ██████,
███████ ████████ on a █████ ███████ at a █████ ████████████ over a █████ ████ ██████,
███████ of █-█ ██████ █████ on ██████ during █████ ███ ██, ████████████ by █. █. ██████ in ████.

In █████████████ ██████ ██████, █████████ ██████ in ████ that, if a ███████ ███████ of the ████████ █████ █-█████ ██████████ █████, ████ the ██████ of █████ ███████ in █████ █████████ █████ ████ a ███████ ████████████.

███ of ████ ██████

The ████ of an █████ is ███████ to the ███████████ of an █████ █████████ in some █████ ███████████ (of ████, █████ or █████████). In the ████ of the ███████ ████████████, ███ ███████ that there ██████ a █████ ██████ ███████████ for which the ███████████ of an █████ █████████ █████ is "██████████". With this ██████████ ███ can ██████ the ███████ ████████████ from the ████████ ███, █████ ████ the ███████████ of ████████ ██████ of █████ ██████ in the █████ ████████.

███ the █████ ██████ of ██████ in the █████ ████████ be ███████ by $\lambda .$ ██████ the █████ ████████ into $█$ ████████████ $I_{1},\dots ,I_{n}$ of █████ ████, ████ that $n>\lambda$ (since ██ are ██████████ in ████ ████ █████ ████████ of the ████████ this ██████████ is ██████████). This █████ that the ████████ ██████ of ██████ in ████ of the █ ████████████ is █████ to $\lambda /n.$

███ ██ ██████ that the ██████████ of an █████ in the █████ ████████ can be ████ as a ████████ of █ █████████ ██████, █████ the $█$ -██ █████████ █████ ███████████ to ███████ ███████ an █████ ███████ at the ███████████ $I_{i}$ with ███████████ $\lambda /n.$ The ████████ ██████ of █████ ██████ in $█$ ████ ██████ █████ be $\lambda ,$ the ████████ ██████ of █████ ██████ in the █████ ████████. █████ for ████ ███████████ of the ████████ ██ have ████████████ the ██████████ of the █████ as a █████████ ███████ of the ████ ${\textrm {B}}(n,\lambda /n).$ As ██ have █████ before ██ ████ to ████████ ████ ████ █████ ████████████. █████████, ██ ████ the █████ as $█$ ████ to ████████.

In this ████ the ████████ ████████████ █████████ to ████ is █████ as the ███████ ████████████ by the ███████ █████ ███████.

In ███████ of the above ████████ — ████ as the ██████ of █████████ in a █████ ████████ of ███ — the ██████ being ███████ are ████████ the ████████ of ████████ ██████, and █████ ████ █████████ be ████████ using the ████████ ████████████, that is $X\sim {\textrm {B}}(n,p).$

In ████ █████ █ is ████ █████ and █ is ████ █████ (and ██ the ███████████ ██ is of ████████████ █████████). ████ the ████████████ ███ be ████████████ by the ████ ██████████ ███████ ████████████ $X\sim {\textrm {Pois}}(np).$

This █████████████ is █████████ █████ as the ███ of ████ ██████, since ████ of the █ ██████████ █████████ ██████ ██████ ██████.

The ████ "███ of ████ ██████" ███ be ██████████ because the █████ █████ of ███████ ██████ in a ███████ ███████ ████ not be ████ if the █████████ ██ is not █████. For ███████, the ██████ of █████████ █████ to a ████ ███████████ in ███ ████ ███████ a ███████ ████████████ with the ██████ █████████ ████████ to the ████████, but they are ████ from the █████ of ████ of the ███████ ██████ of the ██████████ ███ is ████ ████████ to ████ a ████ to that ███████████ in that ████.

The ████████ of the ████████ ████████████ is █ − █ █████ that of the ███████ ████████████, ██ ██████ █████ ████ █ is ████ █████.

The ████ ███ is █████████ used as a ███████ of ███████████ ████████████, and ███████████ in ███ █████ ███████████ in ████████████. ███████████, the ███████ ████████████ is █████████ ██████ the "███ of █████ ███████" because it is the ███████████ ████████████ of the ██████ of ███████████ of an █████ that ███████ ██████ but has ████ ████ █████████████ to ██████. The ███ of █████ ███████ is a ████ by █████████ ███████████ about the ███████ ████████████, █████████ in ████.

███████ █████ ███████

The ███████ ████████████ ██████ as the ██████ of ██████ of a ███████ █████ ███████ ███████ in some ██████ ██████. ████ ████████████, if █ is some ██████ █████, for ███████ █████████ █████ █^█, for which |█|, the ████, ██████ or, ████ █████████, the ████████ ███████ of the ██████ is ██████, and if █(█) ███████ the ██████ of ██████ in █, ████

$P(N(D)=k)={\frac {(\lambda |D|)^{k}e^{-\lambda |D|}}{k!}}.$

███████ ██████████ and ████████ ████████ ██████████

███████ ██████████ and ████████ ████████ ██████████ are ██████ for ████████ █████ the █████████ (████████) ████████ is the █████ (█, █, █, ... ) of the ██████ of ██████ or ███████████ in an ████████.

███████

The █████–████████ ██████████ ██████ against the ██████████ of ██████████ █████████, which ██████ ██████ in a ███████ ████████████.

████ and ██████ ████████ the ████████ █████████ with and without the ████████ of █████████████ (███). ████ ███ is ███████, ███ ████████ on the ████████ █████ be ████ ████████ at a █████ ████████ of the ████. As there are a █████ ██████ of ███ ████████ ████ ████ for a █████ ████████ of the ████, the █████ ██████ of ███ ████████ ████ at ███ ██████ is ███████ ███████████. ████ ███ is not ███████, ███████████ ██ ███ ████████ are ████. The ████████ █████████ is $V=N_{\text{open}}V_{\text{ion}}+V_{0}+V_{\text{noise}}$ . ███████████ the ██████ of █████, ████ and ██████ █████ the ████ and ████████ of ████████ █████████ to be $8.5\times 10^{-3}\;\mathrm {V}$ and $(29.2\times 10^{-6}\;\mathrm {V} )^{2}$ ████████████, ██████ $V_{\text{ion}}=10^{-7}\;\mathrm {V}$ . (██. ██-██)

During ████ ████████ ███████████ █████, the ██████ of █████████ is ███████ ███████ ███████████. For ███████, the ███ █████ has ██,███ ████ █████, and has a ████████ ████ of about █ per ██,███ ████ █████, ███████ the ██████ of █████████ per ███████████ █████ is ███████████ as $\mathrm {Pois} (1/3)$ . (█. ██)

█████ ████████████ in ███████

In a ███████ ███████, the ██████ of ████████ ███████████ ██████████ about ███ ████ █ with a ████████ █████████ $\sigma _{k}={\sqrt {\lambda }}.$ █████ ████████████ are ███████ as ███████ █████ or (████████████ in ███████████) as ████ █████.

The ███████████ of the ████ and ████████ █████████ in ████████ ███████████ ████████ ███████████ is ██████ ██████████████. By ██████████ ███ the ████████████ ████ with the ████ ██████, ███ can ████████ the ████████████ of a ██████ ██████████, ████ if that ████████████ is ███ █████ to be ████████ ████████. For ███████, the ██████ █ on an ████████ can be █████████ by ███████████ the █████████ of an ████████ ███████ with ███ ████ █████. If █ █████████ ████ a █████ in a █████ ████ █ on the ███████, the ████ ███████ is $I=eN/t$ ; since the ███████ ████████████ ██████ be of the █████ $\sigma _{I}=e{\sqrt {N}}/t$ (█.█., the ████████ █████████ of the ███████ ███████), the ██████ $█$ can be █████████ from the █████ $t\sigma _{I}^{2}/I.$

An ████████ ███████ is the ██████████ that ███████ as ███████████ are ████████; the ██████████ is ███ to ███████ ████████████ in the ██████ of ███████ ██████ ██████, not to the ██████████ ██████ ██████████. By ███████████ the ██████████ with the ██████ of ███████████, ███ can ████████ the ████████████ of an ██████████ █████ (which is █████████ ███ █████ to be ████ ███████).

In ██████ ███ ██████ the ████████ ████████ of █████████ ██████ a ███████ ████████████ in the ██████.

The ███████ ████████████ ████ ███████ in ███████ █████████, ██████████ ███████ ██████. ██████, for a ███████ ████████ ██████████ ██████ in a ████████ █████, the ███████████ of █████████ a ██████████ ██████ █████ has a ███████ ████████████.

█████████████ ███████

The ███████ ████████████ █████ ███ █████████ █████ for █████████ ████████ █████████: ██████████ the ████████████ $P(k;\lambda )$ , and ███████ ██████ ███████ █████████ to that ████████████.