██████████ ████████

In ████████████ ████████, a ██████████ ████████ (or ███████ █████) is a █████████ █████ on which ████ █████████ ███████ ████ as ████████, ██████, ██████, ██████, and █████████ are ███████. █████████ █████, the $█$ -██████, ██████████ █████, and ██████ ████████ in █████-███████████ █████, ████ as ██████████ and ███████████, are ███ ████████ of ██████████ █████████. ██████████ █████████ ████ █████ ████ from ██████ █████████████ ████████ ███████, ███ █████ ██████████████ ████ in ████.

████████, a ██████████ ██████ (or ████ a ██████) on a ██████ ████████ is a ████████ ███████ ██████ of █████ ███████ for ████ ███████ █████ of the ████████. A ██████████ ████████ is a ██████ ████████ ████████ with a ██████████ ██████. The ██████████ of ████████████ and ████████ ████████ are used to ████ █████████ ████ out of the ██████████ ██████. For ███████, ███████████ █████ to the ██████████ ████████ ████████, ███████ ███████████████ is used to ██████ █████████ and ████████ █████████.

███ ██████ ███████ in █████-███████████ █████████ █████ is a ██████████ ████████ with a ██████████ ██████ ██████ from the ███ it ████ inside the ███████ █████. The ████ is ████ for ███ ███████████ of █████████ █████ of ███ █████████. ████████ ████ ████ ██████ that █████ ██████████ ████████ ██████ as a ███████████ of █████████ █████, and ████████ some ██████████ █████████ are █████████ █████████ or ███████ in that ███, the ████ of a ██████████ ████████ ██████████ the █████████ █████ of ████, which ███████ █████████ ███████ ████████ on the ████████ █████ ██████ without ███████████ an ███████ █████. In ████ █████████, ████ as for ██████████ █████ and ██████████ █████, ██████████ ███████ are ████ █████████ ███████ or ███████████ using the █████████ █████ of ████. ████████████, ████ ███████ on ███ ██████ and ███████████ ██████ are ███████ █████████████ by using █████ ███████ to █████████ an █████ ███████ on a ██████ ███████ █████ to the ██████ ████████, and ████ ███████ ███████ ████ as ████████ ██████ █████████ ███████ and ██████–████████ ███████ are ███████████ █████████████ using █████ from ███████ ████████████ █████████.

██████████ ████████, the █████ of ██████████ █████████, has ████ ███████████ to █████ █████ of ███████████, █████████ █████████ ████████, ███████ ████████, and █████████ ████████. ████████████ ███████ ███████ (██████████ ███████ ██████████ and █████ ██████), ████████ ████████, ███████ ████████, and ███████████. ███████████████ of ██████████ █████████ ███████ ██████-██████████ █████████, ███████ █████████, and ███-██████████ █████████.

███████

In ████, ████ █████████ █████ ██████████ that the ████████ █████████ of a ███████ ████████ in █-███████████ █████ ████ ███████ on █████ ████████████ ████ within the ███████ (the █████ ███████████ ████). This ██████ is █████ as the ████████ ████████ ("██████████ ███████" in █████).

A ███ that █████████ the █████ ████████████ of a ███████ is ██████ a █████ ████████. A ████████ of a ███████ is ██████ an █████████ ████████ if it is █████████ by █████ ██████████ and it is ██████ an █████████ ████████ if it is not. In this ████████, the ████████ ████████ ████ that the ████████ █████████ is an █████████ ████████ of ████████.

██████████ █████████ and █████ █████████ were █████ ██████████ ███-██████████ by ████████ ███████ in ████. ███████, they █████ not be ██████████ until ████ █████. In ████, the ████ █████████ ███████ of a ██████ ████████ was █████ ██████████ ███████ ████ in ████ in a ████ by ███████ ████.

████ ██████ ██████████ the ██████ ██████████, ███ of the █████ ████████ of a ██████████. ████-██████ ███████ the ████-██████ ██████████, a ███████ ██████████ on a ██████████ ████████.

██████ ████████ used the ██████ of ██████-██████████ █████████ (a ██████████████ of ██████████ █████████) to ███████ ███████ ██████████. ████████████, the ████████ █████ █████████ are ███████████ on the █████████ of █████████, which is a █-███████████ ██████-██████████ ████████.

██████████

██████████ ███████ and ██████████ █████████

███ $█$ be a ██████ ████████. For ████ █████ $p\in M$ , there is an ██████████ ██████ █████ $T_{p}M$ ██████ the ███████ █████ of $█$ at $█$ . ███████ in $T_{p}M$ are ███████ of as the ███████ ███████ to $█$ at $█$ .

███████, $T_{p}M$ ████ not ████ ████████ with an █████ ███████, a "█████████ █████" that █████ ███████ ███████ a ███████ of ██████ and █████. This is an █████████ ██████████ because ████████ ███████ that to █████████ the ██████ of a █████, the ██████ of ███████ ███████ to the █████ ████ be ███████. A ██████████ ██████ ████ ████ a "█████████ █████" on █████ ███████ █████.

A ██████████ ██████ $█$ on $█$ ███████ to ████ $█$ a ████████-████████ █████████ ████████ ████ (█.█. an █████ ███████) $g_{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R}$ in a ██████ ███ (███ the ███████ on ██████████ below). This ███████ a ████ $\|\cdot \|_{p}:T_{p}M\to \mathbb {R}$ ███████ by $\|v\|_{p}={\sqrt {g_{p}(v,v)}}$ . A ██████ ████████ $█$ ███████ with a ██████████ ██████ $█$ is a ██████████ ████████, ███████ $(M,g)$ . A ██████████ ██████ is a ███████ ████ of a ██████ ██████.

A ██████████ ██████ is not to be ████████ with the ████████ ████████ of a ██████ █████, which is ████ ██████ a ██████.

The ██████████ ██████ in ███████████

If $(x^{1},\ldots ,x^{n}):U\to \mathbb {R} ^{n}$ are ██████ █████ ███████████ on $█$ , the ███████

\left\{{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}{\Big |}_{p},\dotsc ,{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}{\Big |}_{p}\right\}

████ a █████ of the ██████ █████ $T_{p}M$ for ███ $p\in U$ . ████████ to this █████, ███ can ██████ the ██████████ ██████'s ██████████ at ████ █████ $█$ by

g_{ij}|_{p}:=g_{p}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p},\left.{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right|_{p}\right)

█████ $n^{2}$ █████████ $g_{ij}:U\to \mathbb {R}$ can be ███ ████████ into an $n\times n$ ██████-██████ ████████ on $█$ . The ███████████ that $g_{p}$ is a ████████-████████ █████ ███████ ████ ████ ███████ that this ██████-██████ ████████ is a █████████ ████████-████████ ██████ at $█$ .

In █████ of the ██████ ███████, the ██████████ ██████ can be ███████ in █████ of the ████ █████ $\{dx^{1},\ldots ,dx^{n}\}$ of the █████████ ██████ as

g=\sum _{i,j}g_{ij}\,dx^{i}\otimes dx^{j}.

██████████ of the ██████████ ██████

The ██████████ ██████ $█$ is ██████████ if ███ ██████████ $g_{ij}:U\to \mathbb {R}$ are ██████████ in ███ ██████ ██████████ █████ $(U,x).$ The ██████████ ██████ $█$ is ██████ if ███ ██████████ $g_{ij}$ are ██████ in ███ ██████ ██████████ █████. ███ can ████████ ████ █████ █████ of ██████████ ███████ in this ██████, ████ as █████████ ██████████ ███████ or ██████████ ██████████ ███████.

There are ██████████ in █████████ ████████ in which ███ █████ to ████████ ███-██████ ██████████ ███████. ███ for ████████ (██████ ████) and (███ and ███ ████). ███████, in this ███████, $█$ is ███████ to be ██████ ██████ ██████ █████████.

███████ ███████████

In ███████ to ███ an █████ ███████ on a ██████ █████ ███████ an ███████████ between a ██████ █████ and ███ ████ █████ by $v\mapsto \langle v,\cdot \rangle$ , a ██████████ ██████ ███████ an ███████████ of ███████ between the ███████ ██████ and the █████████ ██████. ██████, if $█$ is a ██████████ ██████, ████

(p,v)\mapsto g_{p}(v,\cdot )

is a ███████████ of ██████ ██████ ███████ from the ███████ ██████ $█ █$ to the █████████ ██████ $T^{*}M$ .

██████████

An ████████ is a ████████ between ██████████ █████████ which █████████ ███ of the █████████ of ██████████ █████████. If ███ ██████████ █████████ have an ████████ between ████, they are ██████ █████████, and they are ██████████ to be the ████ ████████ for the ███████ of ██████████ ████████.

████████████, if $(M,g)$ and $(N,h)$ are ███ ██████████ █████████, a ██████████████ $f:M\to N$ is ██████ an ████████ if $g=f^{\ast }h$ , that is, if

g_{p}(u,v)=h_{f(p)}(df_{p}(u),df_{p}(v))

for ███ $p\in M$ and $u,v\in T_{p}M.$ For ███████, ████████████ and █████████ are ████ ██████████ from █████████ █████ (to be ███████ ████) to ██████.

███ ████ that a ██████ ███ $f:M\to N,$ not ███████ to be a ██████████████, is a █████ ████████ if █████ $p\in M$ has an ████ ████████████ $█$ ████ that $f:U\to f(U)$ is an ████████ (and ████ a ██████████████).

██████

An ████████ $█$ -███████████ ██████████ ████████ $(M,g)$ has a ██████ $█$ -████ $dV_{g}$ ██████ the ██████████ ██████ ████. The ██████████ ██████ ████ is █████████ by ███████████-██████████ ██████████. The ██████ ████ █████ ████ to a ███████ on $█$ which ██████ ██████████ █████████ to be ██████████. If $█$ is ███████, the ██████ of $█$ is $\int _{M}dV_{g}$ .

████████

█████████ █████

███ $x^{1},\ldots ,x^{n}$ ██████ the ████████ ███████████ on $\mathbb {R} ^{n}.$ The (█████████) █████████ ██████ $g^{\text{can}}$ is █████ by

g^{\text{can}}\left(\sum _{i}a_{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\sum _{j}b_{j}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)=\sum _{i}a_{i}b_{i}

or ████████████

g^{\text{can}}=(dx^{1})^{2}+\cdots +(dx^{n})^{2}

or ████████████ by ███ ██████████ █████████

g_{ij}^{\text{can}}=\delta _{ij}

█████

\delta _{ij}

is the █████████ █████

which ████████ ████ the ██████

(g_{ij}^{\text{can}})={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}.

The ██████████ ████████ $(\mathbb {R} ^{n},g^{\text{can}})$ is ██████ █████████ █████.

████████████

███ $(M,g)$ be a ██████████ ████████ and ███ $i:N\to M$ be an ████████ ███████████ or an ████████ ███████████ of $█$ . The ████████ $i^{*}g$ of $█$ is a ██████████ ██████ on $█$ , and $(N,i^{*}g)$ is ████ to be a ██████████ ███████████ of $(M,g)$ .

In the ████ █████ $N\subseteq M$ , the ███ $i:N\to M$ is █████ by $i(x)=x$ and the ██████ $i^{*}g$ is ████ the ███████████ of $█$ to ███████ ███████ along $█$ . In ███████, the ███████ for $i^{*}g$ is

i^{*}g_{p}(v,w)=g_{i(p)}{\big (}di_{p}(v),di_{p}(w){\big )},

█████ $di_{p}(v)$ is the ███████████ of $█$ by $█ .$

████████:

The $█$ -██████
$S^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:(x^{1})^{2}+\cdots +(x^{n+1})^{2}=1\}$

is a ██████ ████████ ███████████ of █████████ █████

\mathbb {R} ^{n+1}

. The ██████████ ██████ this ███████ on

S^{n}

is ██████ the round ██████ or ████████ ██████.

███ ████ ███████ $a, █, █$ . The █████████
$\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\right\}$

is a ██████ ████████ ███████████ of █████████ █████

\mathbb {R} ^{3}

The █████ of a ██████ ████████ $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ is a ██████ ████████ ███████████ of $\mathbb {R} ^{n+1}$ with ███ ████████ ██████.
If $(M,g)$ is not ██████ █████████, there is a ████████ ███ ${\widetilde {M}}\to M$ , █████ ${\widetilde {M}}$ is the █████████ █████ of $█$ . This is an █████████ (since it is ███████ a ██████████████), ██ ${\widetilde {M}}$ █████████████ ████████ a ██████████ ██████. By the ████ █████████, ███ ██████ ████████ █████ of a ██████████ ████████ ████████ a ██████████ ██████.

On the █████ ████, if $█$ ███████ has a ██████████ ██████ ${\tilde {g}}$ , ████ the █████████ (or █████████) $i:N\to M$ is ██████ an █████████ █████████ (or █████████ █████████) if ${\tilde {g}}=i^{*}g$ . █████ █████████ ██████████ and █████████ ██████████ are ██████████ ████████████.

████████

███ $(M,g)$ and $(N,h)$ be ███ ██████████ █████████, and ████████ the ███████ ████████ $M\times N$ . The ██████████ ███████ $█$ and $█$ █████████ ███ a ██████████ ██████ ${\widetilde {g}}$ on $M\times N,$ which can be █████████ in a ███ ████.

Considering the █████████████ $T_{(p,q)}(M\times N)\cong T_{p}M\oplus T_{q}N,$ ███ ███ ██████
${\widetilde {g}}_{p,q}((u_{1},u_{2}),(v_{1},v_{2}))=g_{p}(u_{1},v_{1})+h_{q}(u_{2},v_{2}).$
If $(U,x)$ is a ██████ ██████████ █████ on $█$ and $(V,y)$ is a ██████ ██████████ █████ on $█$ , ████ $(U\times V,(x,y))$ is a ██████ ██████████ █████ on $M\times N.$ ███ $g_{U}$ be the ██████████████ of $█$ in the █████ $(U,x)$ and ███ $h_{V}$ be the ██████████████ of $█$ in the █████ $(V,y)$ . The ██████████████ of ${\widetilde {g}}$ in the ███████████ $(U\times V,(x,y))$ is
${\widetilde {g}}=\sum _{ij}{\widetilde {g}}_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}{\text{ where }}({\widetilde {g}}_{ij})={\begin{pmatrix}g_{U}&0\\0&h_{V}\end{pmatrix}}.$

For ███████, ████████ the $█$ -█████ $T^{n}=S^{1}\times \cdots \times S^{1}$ . If ████ ████ of $S^{1}$ is █████ the round ██████, the ███████ ██████████ ████████ $T^{n}$ is ██████ the ████ █████. As ███████ ███████, the ██████████ ███████ $\mathbb {R} \times \cdots \times \mathbb {R}$ , █████ ████ ████ of $\mathbb {R}$ has the █████████ ██████, is █████████ to $\mathbb {R} ^{n}$ with the █████████ ██████.

████████ ████████████ of ███████

███ $g_{1},\ldots ,g_{k}$ be ██████████ ███████ on $█ .$ If $f_{1},\ldots ,f_{k}$ are ███ ████████ ██████ █████████ on $█$ , ████ $f_{1}g_{1}+\ldots +f_{k}g_{k}$ is ███████ ██████████ ██████ on $█ .$

█████ ██████ ████████ ██████ a ██████████ ██████

███████: █████ ██████ ████████ ██████ a (███-█████████) ██████████ ██████.

This is a ███████████ ██████. ████████ ████ of the █████ ██████ of ██████████ ███████ can be █████████ using ████ that a ██████ ████████ is a ███████ █████████ ███████████ █████, for this ██████ it is █████████ to use that ██████ █████████ are █████████ and ███████████. The ██████ is that the █████ █████ use of a █████████ of █████.

An ███████████ █████ uses the ███████ █████████ ███████ to █████ $█$ into █████████ █████ and ████ █████ ████ the ██████ from █████████ █████ to $█$ . On the █████ ████, the ████ █████████ ███████ ██████ that, █████ ███ ██████ ██████████ ████████ $(M,g),$ there is an █████████ $F:M\to \mathbb {R} ^{N}$ for some $█$ ████ that the ████████ by $█$ of the ████████ ██████████ ██████ on $\mathbb {R} ^{N}$ is $█ .$ That is, the ██████ █████████ of a ██████ ██████████ ████████ can be ███████ by a ██████████████ to a ███████ ████████ ███████████ of some █████████ █████. █████████, ███ █████ █████ that ███████ can be ██████ from the █████████████ of ████████ ██████ █████████ and █████ ██████████ ███████. ███████, there are ████ ███████ ██████ ██████████ █████████, ████ as the ███ of █████████ of █████-███████████ █████ and ██████████ █████, of which ███ ██████████████ as a ███████████ of █████████ █████ will ████ to █████████ █████ ██████████ ██████████ and ██████████ as ███████ as █████ ████████ █████████████ do.