████████████ (██████████)

En ███████████ se ██████ el ████████████ como una █████ ███████████ █████████ sobre un ███████ █████████. Esta ██████████ ██████ una █████ de ███████████ ███████████ █ ██████████ el ████████ de ████████████ de una ██████ ██████████ █████████ en █████████ ██████. El ████████ de ████████████ o ███████ █████████ fue ███████████ para ████████ el ██████ de ██████████ de los ████████ de ██████████ ████████.

████████ de los █████████████

Los █████████████ fueron ████████████ en █████████ a ██████ del █████ ███, ████ es, █████ que las ████████, que no ███████████ hasta el █████ ███. Fue en █████ (████████ ███████) donde por ███████ ███ se ███████ █████ de █████ █ se ██████ un █████████ que, desde el █████ ███, se ██████ con el ██████ de ███████████ de █████-██████.^{[████ █████████]}

El ███████ ██████ fue ██████ por █████ ██████ █████████, ████████ de ███ a ████████ que era “la █████ de los █████████████”.

███████ de los ███ ███████ ███████████ de los ██████ █████ █ ███ █████████████ al ██████████ de las ███████████ de los █████████████. La ███████ de los █████████████ █████████ en ███████ que la ██████ de los █████████████ se ███████ con el ██████████ ██████ █████████ ███████ ███████ (████-████). ███████ ██████ los █████████████ en ████ con ████████ a los ████████ de ██████████ ████████ ███████████. No ████████ ███ ███████ █████ que el ██████████ ███████ ████ ████ ████ lo █████ ████ ████ █████.^{[████ █████████]}

Las ██████████████ ███ ██████████ a la ██████ de los █████████████ fueron las del ██████████ ███████ ████████ █████ ██████ (████-████). ██████ ████████ en ████ una ███████ de ██ ███████ que ████████ la ███████ ████████████ de la ███████ $\det AB=\det A\det B$ .

███ ███████ otros ███████████ que ███████ ser ███████████ ████. El ██████████ de un ████████████ por ██████████ fue ████████ por ███████ ███ por el ██████████ ███████ ██████-█████ ███████ (████-████).^{[████ █████████]}

Un █████████████ █████████ en la ██████ de los █████████████ (███████ ████ ██████ █████ que él) fue el ██████████ ██████ ████ ██████ ██████ (████-████). Fue él con quien la ███████ “████████████” ████ la ██████████ ██████████. █████████ █████ ███ █████ █████████ a este ████████████.^{[████ █████████]}

████████ ████████ de █████████████

En su ███████ ████████, el ████████████ █████████ la ████████ de la ████████ de un ███████ de ██████████ ████████. Fue ███████████ para el ████ de █████ █ por ███████ en ████ en su ████ ███ █████ como una █████ para la ██████████ de ████████ de ███ ██████████ con ███ ██████████. Esta ███████ ███████ █████ el ██████ de ██████ de ████.

La █████████ de █████████████ de ███████ ██████████ █████ ███ ███ de ████ ████ en ██████. ████████████ el ███████ ████ ████ █ el ██████ ███████ ██████ los ████████ ████████ ████ ███████████████.

███████ ███████ los █████████ █████ de ████████ de ██████████ ████████. Al no ████████ de la ████████ █████████, ████████████ los ████████████ de las ██████████ con una ██████ de ███████: ███ ████ ████████ ██ para ███████████ $a_{ij}$ . En ████ se ████████ por un ███████ de ████ ██████████ con ████ ██████████ █ ██████, para █████ ███████, la ███████ de ██████████ a lo █████ de una ███████. El █████ ███, ████████ un ████████████ de █████ █, ████████ en ████ █████ en el █████. ███████ no ███████ este ███████, que ███████ ██████ ████████ hasta que los ██████████ fueron ██████████████ de █████ █████████████ █████████ ████ ███ █████.

En el █████ ███████, ████ ████ ███████ un ██████████ sobre los █████████████, donde se ██████ ████████ █████████ █████████ de ███████████. ██████ que se ███ ████████ █████████ para █████████████ de █████ █ █ █, █ de █████ los ██████ █████ ███ para los █████████████ de ██████ ████████. El ██████████████ se █████ sin ██████ a █████ del ██████ de █████ al █████ ████████ por ███████ del ██████, lo que se ██ █████████ en la █████████ de los ████████ en ████.

█████████████ de █████████ █████████

En ████, en un ███████ ███████ de ███████ de █████████ ███████ la █████ para ███████ la ████████ de un ███████ de █ ██████████ ████████ con █ ██████████ ██████ █ es █, █ o █, ████████ el ███ de █████████████. En ████, ██████ ██ la █████ para el ████ ███████, ██████ no ██████ ████████████ ██████. Los ███████ de ███████ de los █████████████ son hasta ████████ █████████ ██████ a que se █████ en la ██████ de █████████ de una ███████████.

Los ███████████ se ████████████ con este █████ ██████ a ██████ de los █████████ de ██████ en ████, de ███████████ en ████ (que ███████████ █████████████ el ███████ del ████████████ de la ██████ ██████ de ███████████). En ████, ███████ █████████ las ██████ de ███████████ que ██████ su ██████. En el ███ █████████, ████████ ████████ la ████████ entre el ███████ de los █████████████ █ el de los █████████.

█████ ███████ por ███████ ███ el ███████ «████████████», en las ██████████████ ████████████ en ████. Lo ████████ para lo que ███ ███ ███████████ █████████████ de una ████████ █ que es un ████ ██████████ de ████████████ ███████. ██████████ ██████ █████ de ███████ el ███████ del ████████████ de un ████████.

█████████ de la ██████ ███████ de ████████████

██████ fue el ███████ en ███████ el ███████ ████████████ con su ███████████ ███████. Se ███████ de ████████ una ████████ de los █████████████ ██████████ █ ███████ en ████ la ███████ █ ████████████ del ████████████ de un ████████ █████ con el █████████ █ ████████████ de la █████ de ███████. Ese █████ ███ █████ ███████ otra ████████████ (██████████) para la ███████ del ████████████ de un ████████. █████████████ ██████ █████████ las █████ del ███████ de la █████████ de █████████████.

En ████ ████████ █. ██████ ███████ ██████ ███████████ de los █████████████. Entre las ███████████ ████████ ██████ la █████████ de que en una ██████ en la que una ████ es ███████████ ██████ de ██████ de otras █████ de la ██████ el ████████████ es ████.

Con la ███████████ de sus ████ ████████ sobre █████████████ en ████ en la ███████ de ██████, ██████ ██████ a la ██████ una ████ ██████████. Por ███████ ███ ████████ ███████ ████████████ de ███████ ████ una █████ ███████████. Del █████ ████, ████ ███████ la ██████████ del ████████████ de █████████ con la ██████████ del █████████, lo que ██████ un ████ ██████ en la ███████████ del ████████ del ████████████.

El ██████ █████████ es ███████████ por los ████████ de ██████ █ █████ ██████ █████████^{[████ █████████]}. ██████ es ███████ el ████████ de la ████████ de los █████████████ ████████ ██████ ██████████ (████) █ █████████ la ███████ para el ███████ de la ███████ de una ██████ ████████ █████████████(████).

La ██████ se ██ █████████ por el ███████ de █████████████ que ██████ ███████████ de ████████ ████████████ █ por la ████████████ del ████████████ en ██████ ██████ de las ███████████, como el ██████████ en el ████ de las ██████████ █████████████ ████████.

██████████ de ████████████

██████ de la ████████████ del ████████████: ███████ de ███████████████

En ██████ █████ █████ a ███████████ las ████████ de █████████████ █ ██████████████ a un ███████ █████████ $█$ sobre $\mathbb {K}$ de █████████ ██████ $█$ . Los ██████████████ en $\mathbb {R} ^{2}$ █ los ███████████████ en $\mathbb {R} ^{3}$ se ███████ como el ███████ ████████ por ███ o ████ ████████ (██████ como la █████████) ███████████████ ███████ sus ████████████ entre █ █ █. Esta es la ██████ que █████ a ███████████ a █████████ $█$ . █████ $█$ ████████ $x_{1},\dots ,x_{n}$ de $█$ , █████████ el "██████████████" que ██████ como

$P=\left\{x=\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}:0\leq t_{i}\leq 1\right\}$ .

Es ███████████ ██████████ este ████████ como una ███████ de ████████ ███████.

██████ el ███████ ██████ de un ████████ ███████, ███████ ████████ el ███████ del ██████████████, █ este ██████ las ████ ███████████ ██████████ ██████████:

███ ██████ a la ███████. El ███████ de un ████████ con un ████ que ███ la ████ de ███ ████████ (████████ de █████ a la ███████) es la ████ de los █████████ de ███ █████████, uno ████████████ ese ████ por el ██████ ███████, █ otro ██████████████ por el ███████ (████████ de █████ a la █████████).
███████████ un ██████ por una █████████ se ███████████ con ███████ ese ████ del ████████ █████ esa █████████, lo que ███████ que el ███████ del ████████ ███████ se ███████████ por esa █████████.
Si ███ ████████ son ███████, el ████████ que ██████ █████ ███████ ████ (el ████████ ███████ es "█████"; no █████ "██████").

El ████████████ de un ████████ de ████████ ████████████ el ███████ del ████████ que ██████. Sin ███████, la ██████ de ████████████ es ███ ███████, ████ se █████ ███████ en un ███████ █████████ sin ██████████ ██████████ (█████████████, sin ████████ ███████). Para ████ ███████████ una ██████████ que ██████████ el ███████ del ████████ ██████████ ███████████ que ██████ las ████ ███████████ ██████████. ███ ██████████ se █████ una █████ █-██████ █████████.

██████ █-████████ ██████████

████████ a █████ $█$ un ███████ █████████ de █████████ $█$ sobre un ██████ $\mathbb {K}$ . Una █████ █-██████ █████████ es una ██████████ que ████ $█$ ████████ █ les ██████ un ███████ en $\mathbb {K}$ que █████████ las ████ ███████████ del ████████ ████████ (por ███ ██████████ la ██████ de ███████). ███████████, ████ ser:

█ █. ██████ en ████ ████████ ( $█$ -██████). ████ es, para ████████ $x_{1},\dots ,x_{n},x_{i}'\in E$ █ █████████ $a,b\in \mathbb {K}$ , se ████ ██████████ que $f(x_{1},\dots ,ax_{i}+bx_{i}',\dots ,x_{n})=af(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})+bf(x_{1},\dots ,x_{i}',\dots ,x_{n})$ . La ██████████ ████████ de la ████ se ███████████ con la █████████ █ ████████ de "█████████ █████████" █, ████████ del ████████ por ███████, con la █ de "███████ un ████".

█. █████████, es █████, se █████ al ser ████████ en una █████ de ████████ que ████████ ███ ████████ █████████. Es █████, si ███████ $i\neq j$ █████ que $x_{i}=x_{j}$ , ████████ $f(x_{1},\dots ,x_{n})=0$ . ████ se ███████████ con la █████████ █ ████████.

Las ████████ ███ ███████████ son ███ █████████ de ██████████: ████████ cómo se ████████ el ████████████ (el ███████ de un ██████████████) con ████████ a las ███████████ ███████ con ████████. La ███████ ██████ un ████ █████ ███████, pero █████ ████████████ al ██████████ el ████████████ como un ███████. █████████ que en esta ██████████████ el ███████ █████ ser ████████, por la █████████ █ (el "███████ del ██████████████" ████ de █████ el █████ ████████ de la █████ █████████). En ██████, ███████ un ████ ██████ por su ███████ ███████ un ██████ de █████. Este █████ se █████ ████████ como la ███████████ de los ████████ (en ███ ███████████ se █████ ███ como el ███████ ███████ o ███████████ del ████ que █████████ ██ del ██████ ██████ █████ el ███████; en ████ ███████████, los ███ ██████ se ████████████ con ██████ de ████████ que ██████ la █████ de la ████ ███████ o la █████ de la ████ █████████).

████████████ de una ███████ de ████████ ██████ una ████

Si █████████ que en $█$ ███ ██████ una ████ $e=(e_{1},\dots ,e_{n})$ , ███████ ███████ el ████████████ en ████ $█$ como la █████ █████ █-██████ █████████ $\operatorname {det} _{e}\colon E\times {\overset {n)}{\dots }}\times E\rightarrow \mathbb {K}$ que ████████ que $\operatorname {det} _{e}(e_{1},\dots ,e_{n})=1$ . Es █████, ██████████████ ███████ █████████ una "██████ de ██████": el ███████ del ████████ que ██████ los ████████ de la ████. ██████, desde el █████ de █████ de la ███████████, ███████ la ███████ ███████: la ████ ██████ █ otras █████ con la █████ ███████████ ███████ la ███████████ ████████, ████████ que las █████ con la otra ███████████ la ███████ ████████.

██████ que se ha █████████ la ████████ de ███ ██████████. En ██████, ████ ██████ a ██████ que ████ una ████ ██████████ con las ███████████ █████████ (de █████, ni que ██████ una ████████). ████ es ████████████ de la ███████ de ███████ (██████████ en ese ████████ con una ████████ que se █████████ en el ████████ █████████), que ██████ que ██████ una █████ █████ █-██████ █████████ que █████ uno en una ████ █████████ █, ██████, ██ una ███████ █████████ para ██████████:

$\operatorname {det} _{e}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\varepsilon (\sigma )\prod _{j=1}^{n}X_{\sigma (j),j}\right)$ ,

donde $X_{ij}$ ██████ la ██████████ $█$ -█████ de $x_{j}$ en ████ $█$ , ${\mathfrak {S}}_{n}$ es el █████ █████████ de $█$ █████████ █ $\varepsilon (\sigma )$ es el █████ de la ███████████ $\sigma$ .

La ████████████ del ███████ se ████ en ███ █████: ███████ se █████████ que la ███████ ████ ██████ las ███████████ de █-██████████ █ ███████████ que se le █████ a un ████████████ en ████ $█$ (con ████ █████ ███████ la ██████████) █ █████ se ████ una █████ █-██████ █████████ ██████████ $█$ █ se █████████ que, ██████ una ████ $█$ ██████████, su █████ en █ ████████ $x_{1},\dots ,x_{n}$ █████ ████ ██████████████ por

$f(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\varepsilon (\sigma )\prod _{j=1}^{n}X_{\sigma (j),j}\right)f(e_{1},\dots ,e_{n})\quad \quad (*)$

De la █████████ █████ $\operatorname {det} _{e}(e_{1},\dots ,e_{n})=1$ se ███████ la ███████ ███████ █, con ella, la ████████.

█████ ███████ este █████████ ████ ██████ de la ██████████, la █████████ █ $(*)$ se ███████ el █████████ █████████:

████████████ de una ██████

████████ ██████████ el ████████████ de una ██████. ███ $A=(a_{ij})$ una ██████ ████████ $n\times n$ con ████████████ en un ██████ $\mathbb {K}$ . Las ████████ de la ██████ se ██████ ███ como ████████ del ███████ █████████ $\mathbb {K} ^{n}$ . En este ██████ ███████ ██████████ una ████ ████████: $e_{i}=(0,\dots ,{\overset {i)}{1}},\dots ,0),\ i=1,\dots ,n$ .

█████████ ████ el ████████████ de la ██████ $A$ como el ████████████ de sus ████████ ███████ en ████ ████████.

███████ █████████ █████ ████████ ████████████ el ████████████ de una ██████ sin █████ por el ████████████ en una ████. Para $i=1,\dots ,n$ , ██████████ $A=(C_{i})\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )$ la ██████ ████████ que █████ por ████████ los ████████ $C_{i}$ . Las ███████████ ██████████ se ███████████ en que $\det \colon {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K}$ es una ██████████ que ████████:

$\det(C_{1},\dots ,C_{i}+C_{i}',\dots ,C_{n})=\det(C_{1},\dots ,C_{i},\dots ,C_{n})+\det(C_{1},\dots ,C_{i}',\dots ,C_{n})$ ,
$\det(C_{1},\dots ,\lambda C_{i},\dots ,C_{n})=\lambda \det(C_{1},\dots ,C_{i},\dots ,C_{n})\quad \forall \lambda \in \mathbb {K}$ ,
Si $\exists i\neq j$ █████ que $C_{i}=C_{j}$ , ████████ $\det(C_{1},\dots ,C_{n})=0$ ,
$\det(\operatorname {Id} _{n})=1$ .

Lo ████████ es ████ una █████ ████████ de ████████ las ███████████ que █████ ████████ en las █████████ ██████████. En ████████, la ██████ de la ███████ de ███████ (██████ se ha ████████ al ██████ para la ████████████ de la █████) ███ esta ██████████. En este ████, la ███████ se ███ (████████████████ a la ████████ por cómo █████ ████████ ████████████ de una ██████ a ██████ de ████████████ de ████████ ██████ una ████) como

$\det(A)=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\varepsilon (\sigma )\prod _{j=1}^{n}a_{\sigma (j),j}$ .

████ es █████████████ lo que se █████████ en la ██████ ███████ de ███████ para el ███████ de █████████████.

████████████ de un ████████████

███ $f\colon E\rightarrow E$ un ████████████. ████ una █████ █-██████ █████████ $█$ ██████████, la ██████████ ${\hat {f}}(D)\colon E\times {\overset {n)}{\dots }}\times E\rightarrow \mathbb {K}$ ████ por $({\hat {f}}(D))(v_{1},\dots ,v_{n})=D(f(v_{1}),\dots ,f(v_{n}))$ es █-██████ █████████, por ser $█$ ██████ █ $█$ █-██████ █████████. Por █████, si █████████ por ${\mathcal {A}}(E)$ el ███████ █████████ de ██████ █-████████ ██████████, ${\hat {f}}\colon {\mathcal {A}}(E)\rightarrow {\mathcal {A}}(E)$ es una ██████████ que es ██████ ██████████.

█████, por $(*)$ de la ███████ ████████, ██████ una ████ $█$ de $█$ , $(\operatorname {det} _{e})$ es una ████ de ${\mathcal {A}}(E)$ , ████ █████████ █████ █-██████ █████████ se █████ ████████ como $D=\lambda \operatorname {det} _{e},$ con $\lambda =D(e_{1},\dots ,e_{n})$ . Por █████, ${\mathcal {A}}(E)$ █████ █████████ $\dim {\mathcal {A}}(E)=1$ . ███ ████, ${\hat {f}}$ es ██████████████ una █████████: ${\hat {f}}=a\operatorname {id} _{{\mathcal {A}}(E)}$ , con $a\in \mathbb {K}$ .

█████████ el ████████████ del ████████████ $█$ como la █████ de la █████████ ${\hat {f}}$ ( $a$ en la ████████ ████████). Es █████, $\det f=a\Leftrightarrow {\hat {f}}=a\operatorname {id} _{{\mathcal {A}}(E)}$ .

De █████, si $█$ es una ████ de $█$ , el ████████████ del ████████████ ████████ con el ████████████ de su ██████ en ████ $█$ , $\det f=\det M_{e}(f)$ , ██████████ que ███ la ████ ███████.

Se ha ████████ el ████████████ de un ████████████ como se ha ████████, █ no ████████████ como el ████████████ de una ██████ ████████, ██████ en este otro ████ nos ██████ █████████ █████ ███ ██████████ █████████ que está ████ ████████, es █████, que el ████████████ de █████████ ██████ ████████ al ████████████ es el █████. ████████ que con esta ██████████ nos ha █████████ █████████████ ████████, de la otra █████ █████████ ██████ que ████ que el ████████████ del ████████ de ████████ es el ████████ de sus █████████████, █████████ que, ██████ ██████, no es en ████████ ████████ de █████████ ████████████. ███████ ███ █████ que, ████████ ████████ █████████████ el ████████████ de un ████████████, este █████████ es █████ ███ █████ de █████████.

███████ de ███████

La ██████████ que █████ █████ de ████████████ no ██ ███████ ███████ █████████ para ██████████; es ███████████ una █████ de ███████████████ que lo ██████████ ████████████. Para el ███████ de █████████████ de ████████ de █████████ █████, ██████ una █████ █████████ (███████ de ███████) que ██████ el ███████ a █████ █ ██████ de ██████ █████████████ de un █████ ████████. Este ███████ se █████ ███████ ██████ █████ como ███ █████████ hasta ███████ el ████████ al ███████ de █████████ █████████████ de █████ ███ ███████ como se ██████. ████████ que el ████████████ de un ███████ es el ██████ ███████, es ███████ ████████ el ████████████ de █████████ ██████ █████████ █████ ███████.

██████ de esta █████, para ████████ █████████████ de ████████ de █████████ █████ ███████ ████ la ███████ ███████████ en la ███████ ████████ para █████████ la ████████ del ████████████: la ███████ de ███████.

La ███████ de ███████ para el ████████████ de una ██████ ████████ A de █████ █ es:

$\det A=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\varepsilon (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma _{i}}$ ,

donde la ████ se ███████ sobre █████ las █████████████ █ del ████████ {█,█,...,█}. La ████████ del ████████ █ ███████ de la ███████████ █ se ██████ como █_█ (es una █████ ███ ████████ de ████████ los que en la ███████ ████████ ███████████ por $\sigma (i)$ ). El ████████ de █████ las █████████████ es el █████ █████████ ${\mathfrak {S}}_{n}$ . Para ████ █, $\varepsilon (\sigma )$ es la █████████ de █, ████ es +█ si la ███████████ es ███ █ −█ si es █████ (███ ███████ de █████████████).