████████████ (███████)

██ ███████ ███████, ██ ████████████ ██ ███ ███████ ████████ █ ██ ██████ ███ ████████ ██████ █████████ ██████████ █ ███████████ █████ ███████. ██ ██████ ██ ██ ███████ █████████ █████ ██ ████ ███████ █████ ██████████, ██ ███████ █████ ██████ ███ ███████ ██ █████████ ███████, ███ ███████ ██████████████ █ ███ ██████████ (██ ███████ █████ █████████), ███ ███████ ██████████, █████ █████████ █████████████, █ █████ ██████ ████████████.

██ ███████████ ██████████ ██████████ ███ ████████████ ██ ███████ █████████████ ██ ███████ ████████ $█$ ██ ██████ $█$ ████ ██████████████ ███████ ██ ███ ██████ ██████████ █ $█$ ██████████: ███ ██████ ███████████████, ██ ██████ ████████ ██ $\det(A)$ █ ██ ███████ ███ ███ ███████ ██████████ █ ██████ █████ ███████ █████████ █████ ██████ (█████ ██ ███ █ █████████ █████ ███████████ ██ ███████████ ██ ██████). ██ █ ███████ ██ ████, ██ █████ ███ ████████████ ██████ ███████ ██ ██ ██████████████ $█$ ████████ █ ██████ █'████████████ █████ ██████ ████████ ████ ████ ██ ███████████.

████ █████ ████████████ ████████ ███ $\det(A)$ █, █ █████, ███ $|A|$ . █████'██████ █████████ █ ███ ████████, ██ █████ ███ ███████, ██ ██████ ██████████ ████████ ███ ██████████ ███ █████ █████ ███████.

███████████

██ ████████████ ██ ███ ███████ █ × █ █ ████ █:

\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad-bc.

███ ████████ ██ ████████████ ██ ███ ████████ ███████ ████████ $n\times n$ ██ ███████ ███████ ███ ████████: ██████ ███████████, ███ █████████ ██ ████████████ ████ █'█████ ████████ ███ ████████ ██████ ███████, █ ██████ ███████████ ███████ ███ ███████ █████████. ████████ ███ ████ ██████ ██ ███████ ███ █████████ ███ ███████ █ ███████ ███ ████████.

███████████ ███████ ███████

███ $K^{n\times n}$ ██ ██████ ██████████ █████ ███████ ████████ $n\times n$ █ ██████ ███ █████ $█$ (██ ███████, ██ █████ ███ ██████ █████ █ █████████).

██ ████████████ █ █'█████ ████████ $\det \colon K^{n\times n}\to K$ ██████ ██ █████████ ████████:

$\det I=1$ ████ ██ ███████ $█$ █ ██ ███████ ████████ ██ ██████ $█$ .
██ ████████ ███ ████ ████████ ████████ ███'█████████ ██ █████-██████:
- ██ $█$ █ ████████ ██████████ ███ █████ █ ███ ███████ ██ $█$ , ██████ $\det B=-\det A;$
- ██ $█$ █ ████████ █████████████ ███ ████ █ ███ ███████ ██ $█$ ███ $k\in K$ , ██████ $\det B=k\det A;$
- ██ $█$ █ ████████ ████████ ██ ████████ ██ ███ ████ █ ██ ███ ███████ ███████████████ ██ $█$ █ ██'█████, ██████ $\det B=\det A.$

██ █████████ ████████ █████ ██ ███████████ ██████████: ████ ██ █████████ ███ ████ ██████████ ███ ████████ ██ ███ ██████ ████████ █ ██ ██████ ███ ████████ ███████████ ███ ███████ ████ █████ ███████ $█$ █ ██ ███ █████ █ ████████ ██ █ ████ ██ ████ ███████ ████ █████████████ ████ ████ ████████.

███████████ ███████████

██ ████████████ ██ ███ ███████ $A_{n\times n}$ ███ ██████ ████████ ██ ██ ████ ███ ███████████, ███████ ██ ███████ ██ ███████:

\det(A):=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}.

█████ ███████, $S_{n}$ █ █'███████ ██ █████ ██ ████████████ $\sigma$ ████'███████ ████████ $\{1,2,\ldots ,n\}$ , $\operatorname {sgn}(\sigma )$ ██████ ██ █████ █████ ████████████ ( $+1$ ██ $\sigma$ █ ███ ████████████ ████, $-1$ ██ █ ███████) █ $\sigma (i)$ ██████ █' $█$ -█████ ████████ █████ ████████████.

██ ██████ ███████ ██ ████ ███ ██ ██████ ██ ████████ █████ ██████████ █ ██████ █ $█!$ (██ ███████████ ██ $S_{n}$ ).

███ ███████, ██ ████████████ ██ ███ ███████ $3\times 3$ (████ $n=3$ ) █

{\begin{aligned}\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma _{i}}&=\operatorname {sgn}([1,2,3])\prod _{i=1}^{n}a_{i,[1,2,3]_{i}}+\operatorname {sgn}([1,3,2])\prod _{i=1}^{n}a_{i,[1,3,2]_{i}}+\operatorname {sgn}([2,1,3])\prod _{i=1}^{n}a_{i,[2,1,3]_{i}}+\operatorname {sgn}([2,3,1])\prod _{i=1}^{n}a_{i,[2,3,1]_{i}}+\operatorname {sgn}([3,1,2])\prod _{i=1}^{n}a_{i,[3,1,2]_{i}}+\operatorname {sgn}([3,2,1])\prod _{i=1}^{n}a_{i,[3,2,1]_{i}}\\&=\prod _{i=1}^{n}a_{i,[1,2,3]_{i}}-\prod _{i=1}^{n}a_{i,[1,3,2]_{i}}-\prod _{i=1}^{n}a_{i,[2,1,3]_{i}}+\prod _{i=1}^{n}a_{i,[2,3,1]_{i}}+\prod _{i=1}^{n}a_{i,[3,1,2]_{i}}-\prod _{i=1}^{n}a_{i,[3,2,1]_{i}}\\&=a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}-a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}-a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}+a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}+a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}-a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}.\end{aligned}}

██ ███████████:

██ $n=1$ , ██ ████████████ ██ $█$ █ █████████████:

\det(A):=a_{1,1}.

██ $n=2$ , ██ ███████ ██ ███████ ███ █████:

\det(A):=a_{1,1}a_{2,2}-a_{2,1}a_{1,2}.

██ $n=3$ , ██ ███████:

\det(A):=a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}+a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}+a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}-a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}-a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}-a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}.

█████'██████ ███████ ███ ██████ ███████████ ███████ ██ ██████ ██ ██████ (███ ███ █ ████ ███████████ ██ ████ $n>3$ ).

██ ███████████ █████ ███████████ ███████████ (████████ ██ ███████████ █████ ████████████) █ ███████:

n!\cdot (2n+1)=O(N\cdot N!).

██████ ██ ███████

██ ███████████ ███████████ ███ ████████████ █ ██████ ██████████ ██ █████ ███ ██ ███████ ████████, ██████ ██ ████ ██ ███ █████ ██ ███ $█!$ ███████. ████████ █████ █████████ ███ ██████████ ██ █████████ ██ ████████████ ███ ██████████. ███████ ██████ ██ ███ ██████████ █████████, ██████████ █████ █████████ █████ ███████ █ █████ ████████ ██ ████.

███████ ████████ ██ ██████ █

██ ████████████ ██ ███ ███████ █ × █ █:

\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:=ad-bc.

██ ██████ ████████ ██ ██████ ███████████ █ ██████ ███'████ ███ ███████████████ ███ ███████ ██ $(0,0),(a,c),(b,d)$ █ $(a+b,c+d)$ . ██ █████ ███ ████████████ (██ ███████ ██ ████) ███████ ██████ ████'██████ ███████ ███ ███ █████████ █ ███████ ███ ███████████████ (██ █████ █ ████████ ██ ██ ███████████████ █ █████ "█████████", █ ████████ ██████████).

████ ████████ ███ █████, ██████ █████████ ██████████ ██ ███████ █████ ██ ██████████ ████████ ██ █: ██ ████████████ ██ ███ ███████ $3\times 3$ █ ██ ███████ ██ ██████ ███ ████████ █ ███ ███████ ██ ████████ █████ ███████ █████ ███████ ███ ██ ██████ ████████████ █████.

███████ ████████ ██ ██████ █

██ ████████████ ██ ███ ███████ █ × █ █:

\det {\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}=aei+bfg+cdh-gec-hfa-idb.

██ ██████ █████████ ███ █████████ ██████ ███████, ████████ █████ ██████ ██ ██████ (██████ ██████ ███ ██ ███████ █ ███████ ███ ██████), ███████ ██ █████████ █ ████████ ███ ███████ █████ █████████ "████████". █████████ █ ██████ █████ ███████ ██ ███ █████ ███ ███████:

{\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}{\begin{matrix}a&b\\d&e\\g&h\end{matrix}}

█ ████████ █████ ██████████ █████ █ "█████████" ███ ███████ ████'████ █ ████████ (█████████ ██████████) ████ $█ █ █$ , $█ █ █$ █ $█ █ █$ , ██████ █████ █ "█████████" ███ ███████ ███ █████ █ ████████ (█████████ ██████████) ██ ███████ $█ █ █$ , $█ █ █$ , $█ █ █$ . ██ ████████████ █████ ███████ █ ███████████ ██ ██████████ ███ ██ █████ ███ █████ ███ ███████ $(aei+bfg+cdh)$ █ ██ █████ █████ ██████ ███ $(gec+hfa+idb)$ .

██████ ███ ██ ██████ ███ ████████████ ████████ ██ ██████ ████ ██ ████████ █████ ███ █ ███████:

{\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}c\\f\\i\end{pmatrix}}.

█ ██ ███ ██████ ████████ █ ██████ ██ ██████ ███ ███████████████ ███ ██ █ ███ ███████ ████ ███████.

████████ ██ ███████

██ ████████ ██ ███████ █ ██ ██████ ██ ███████ ███ ████████████, ███ ███████ ██████████ ████ ███ ███████ █████ ███████ █ ██████████ ██ ████ ██████ ██ ████. ██ ███████ ██████████ ███ ████, ██ $█$ -█████, ███████ ██ ███████:

\det(A)=\sum _{j=1}^{n}\ a_{i,j}C_{i,j},

████ $C_{i,j}$ █ ██ ███████████ █████████ █████ ██████ $(i,j)$ , ████ $C_{i,j}$ █ ████ ██ $(-1)^{i+j}$ ███ ██ ████████████ (██████) ██ ██████ $n-1$ ████████ █████ ███████ $█$ ██████████ ██ ████ $█$ -█████ █ ██ ███████ $█$ -█████.

██████ ███ ████████ ███████ █████ █████ ██ $█$ -█████ ███████.

█████████ ██ █████

██ ███████████ ███████████ ████████ ██ █████ █████ █████████ ██ ███████ ███ ████████████, ███ ██ ████ ██ ██████ ███ ████████:

██ ████████████ ██ ███ ███████ ███████████ █ █████████████ ██ ████████ █████ ████████ █████ █████████, ████:

\det(A)=\prod _{i=1}^{n}a_{ii}.

██████ █'█████████ ██ █████, █ █████████ ███████████ ████ ███████ ██ ███ ███████ ███████████ ██████████ ██████████ ██████████ ██ █████ █ ███████ █████ ██████ ; ██ ███ ███████ ███ ████████████ █ ██████████ █████ ███████.

███████

██████████ ██ █████ █████████ ██ ████████████ ██:

A={\begin{pmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{pmatrix}}.

██ ███ █████████ ████████████ ███████ ██ ███████████ ███████████:

{\begin{aligned}\det(A)&=(-2)\cdot 1\cdot (-1)+(-3)\cdot 0\cdot (-1)+2\cdot 3\cdot 2-(-3)\cdot 1\cdot 2-(-2)\cdot 3\cdot 0-2\cdot (-1)\cdot (-1)\\&=2+0+12-(-6)-0-2=18.\end{aligned}}

████████████████ ██ ███ ██████████ ██ ████████ ██ ███████ ███████ ███ ████ █ ███ ███████. ████████ █████████ ███ ████ █ ███ ███████ ███ █████ ████, ██ ████ ██ ███████ ███ ███████ █████ ████████; ███ ██████ ████ ███████████ ███████ ██ ███████ ███████:

{\begin{aligned}\det(A)&=(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \det {\begin{pmatrix}-1&3\\2&-1\end{pmatrix}}+(-1)^{2+2}\cdot 1\cdot \det {\begin{pmatrix}-2&-3\\2&-1\end{pmatrix}}\\&=(-2)\cdot ((-1)\cdot (-1)-2\cdot 3)+1\cdot ((-2)\cdot (-1)-2\cdot (-3))=(-2)(-5)+8=18.\end{aligned}}

██ ████████ ██ ███████ ███ ██████ █████████ ███ ██████ █████ ██ █████. ██ ███████ ███ ███████ ███████████████ ███████████ ███████ ██ ███████ ███████ ████ █████:

{\begin{pmatrix}0&2&-3\\0&1&3\\2&0&-1\end{pmatrix}}.

██████ █████ ███ ██████ ██ ████████████. ███████████ █████ ██ █████ ███████ ██ ███████ ██████ ██████:

\det(A)=(-1)^{3+1}\cdot 2\cdot \det {\begin{pmatrix}2&-3\\1&3\end{pmatrix}}=2\cdot (2\cdot 3-1\cdot (-3))=2\cdot 9=18.

█████████

█████████ ██████████

█████ █████████ ████████ █████ ███████████ ███████████, █ ██████ ███████ ███:

██ █████ ███ ████████ ██ ███ ████ (█ ███████) ████ █████, ██████ $\det(A)=0.$
██ $█$ ██ ███ █████ (█ ███████) ██████, █ █████████████, ██████ $\det(A)=0.$
██ ███ ████ (█ ███████) █ ████████████ ███████ ██ ███ █ ███ █████ █████ (█ ███████) █ ████ █████████, ██████ $\det(A)=0.$
██ $█$ █████ ██████████ ███████ █████ ██ █████ █████ ███████ (██████ ███ █████ █████), █'███████ █ ██████ ██████ █████████ █████ ███████████ ███████████.
██ ███████████, ██████████ ███ ██ ████ ███ █████ █ ███ ███████ ██ ████████████ ██████ █████, ████████ ██████ ██ ██████ ████████. ██ ████████ ███ ██ ██████ ████ ██ ██████ ███ █████ ██ ██ █████ ██ ██ ██████ ███ ████████████.
██ ███ ████ (█ ███ ███████) █ █████ ██ ███ █████ (█ ███████), $\det(A)$ █ ██ █████ ███ ███ ████████████ ███ ██ █████████ ███████████ █ ██████ ████ (█ ███████) ███████████████ ██ ███ █████ (█ ███████) ██ ███ █ █████.

███████████████ ██ ███████

██ ████████████ █ ███ ████████ ██████████████, ███ █████ ███ ████ ██ ███████ ██ █████:

\det(AB)=\det(A)\det(B).

███ ███████ ████████ $█$ ███ ██████ ██ ██ █████ $█$ █ ███████████ ██ █ ████ ██ $\det(A)\neq 0$ . ██ ████ ███████████ ████ █'███████████:

\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}.

██ █████████ ██████ ████████ ████████ ███ █'████████████:

\det \colon \mathrm {GL} _{n}(K)\to K^{*}

███ ██████ ████████ ███████ █████ ████████ ███ █████ ██ $█$ █ ██ ███████████ ██ ██████.

████ ███████████ ███ ███████ ██ █████, █ ██████ ██████████ ███ $\det(rA)=r^{n}\det(A)$ , ████ $█$ █ ███ ███████. ███████, ██ $█$ █ ██ ███████ ████████ ██ ████ $n\times n$ , ██████ $\det(rI)=r^{n}$ , ██ ██:

\det(rA)=\det(rI\cdot A)=r^{n}\det(A).

█████████, ███████ ██████

███ ███████ █ ██ ███ █████████ █████ ██ ██████ ████████████:

\det(A)=\det(A^{T}).

██ $█$ █ $█$ ████ ██████ (████ ██████ ███ ███████ ███████████ $█$ ████ ███ $A=X^{-1}BX$ ) ██████ ███ ██ ███████ ██ █████ $\det(A)=\det(B)$

██████ █████████ ███ ██ ████████████ █ ██ ██████████ ███ ████████████. ██ ██████ █████ ███ ██ ████████████ ██ ███ ██████████████ ███████ $f\colon V\to V$ █ ███ ████████ (███ ███████ █████ ██████ ██ ███ ████ ███ ██ ██████ ██████████ $█$ ).

█'█████ █████, ████████ ███████ ███ ██ ██████ ████████████ ███ ███ ████ ██████.

███ █████ ███ ██████ █████, ██ █████ ███ ████████████ █ █████ ██████████ ███ ██████████.

██████████

██ ████████████ ██ ███ ███████ ███████████ █ ██ ████████ █████ ████████ █████ █████████.

██ $█$ █ ██ ████ $n\times n$ ███ ██████ █████ █ █████████ █ ██ █████ ███ ██████████ $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ ███ █████ (███████ ███ ████████████), ██████:

\det(A)=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.

██████ ███████████ █████ ███ █████ ███ $█$ █ ██████ ██████ ████ ███ █████ ███████ ██ ██████, ███ █ ███ ███████ ███████████ █████████ ███ ███ ██████████ █████ █████████ ██████████.

███ ████████████ ███ ████████████ █ ██████████ ██ ███ ████████ ███ █████████ ███ ██ ████████ ███████, ██ ████████ ████████████ █ ██ ████████████:

\det(e^{A})=e^{\operatorname {tr} (A)}.

████████

██ ████████████ ███ ████████████ ███ ████████ ███████████:

\det \colon \mathbb {R} ^{n\times n}\to \mathbb {R} ,

██████ ████ █ ███████████████ ████████ █ ████ █████████ ██████████████ ██ ██████ ███ ███ ████████ ██ ███ ███████ █ ███ █████████ ███ ██████. ██ ███ █████████████ ███ ██████ ████████ ████████ ██ ███████ ██ ██████:

d\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {cof^{T}} (A)dA),

████ $\operatorname {cof^{T}} (A)$ ██████ ██ █████████ █████ ███████ ███ █████████ (█████ █████ ███ ███████████ █████████) ██ $█$ , ██████ $\operatorname {tr} (A)$ ██ ██████ ██ ███████. ██ ███████████, ██ $█$ █ ███████████ ██ ██:

d\det(A)=\det(A)\operatorname {tr} (A^{-1}dA),

█, ███ ███████████████, ██ █ ██████ █████ ███████ $█$ ████ ████████████████ ███████:

\det(A+X)-\det(A)\approx \det(A)\operatorname {tr} (A^{-1}X).

██ ████ ███████████ ██ $█$ ███████████ ███ ██ ███████ ████████ $█$ ████████:

\det(I+X)\approx 1+\operatorname {tr} (X).

████████████

███████ ███████

██ ████████████ █ █████ █ █████████ ██ █████ ██ ███ ███████ █ ██████ █ ███████████ ██ ██ ███████ ██ █████████ ███████ ██ █████████, ███████ ██ ███████ ██ ██████-███████. ██████ ██ ███████ ██ ███ ████ █████████, ██████ ███ ██████ ███████████ ██████ ██ ████████████, ████████ ██ ██████ ██ ██████.

███████ █ ██████████████ ███████████

███ ███████ █ █████ █████████ ██ ██ ████████████ █████. ███ ███████ █████████ ███ █ ███ ███████████, █ ██ █ ████████ ██ ██ █████ ████ █████ █'███████: ███ ███████ ███ █████████ █ ██████ ███████████.

███ ██████████████ ███████ ███ █████, █████ ██████, █ ███ ██ ████████ ██ ███ ██████ ████████ █ ██████████ (██ ██████████ ██████) $f\colon V\to V$ █ █████████████ (████ ████ ██████ ███ ████) ██ ███ ███████ ████████ $█ .$ ██ ████████████ █ ███ ████████ ███ ███ ███████ █████ ████ ██████, █ ██████ ████ █████ ████████ $█$ : ██ ███ ██████ ███████ ██ ████████████ ██ $█$ , ███ ██ ██████ ███ $\det(f)$ .

██ ████████ ████████████ ██ $█$ ████ ███████████:

█

█ ███ ██████████████ █████████

\Leftrightarrow

█

█ ██ ███████████

\Leftrightarrow

█

█ █████████

\Leftrightarrow

█

█ ██████████

\Leftrightarrow

\det(A)=\det(f)\neq 0.

██████ ████████ ██ ██████ ████████████ ███████████ █ ████ ██ █ ████ ██ ██ ████████████ ███ █ ████.

██████████ █ ███████████

██ ████████████ ████████ ██ ███████ ███ ██████████ ██ ███ ███████ ████████ $█$ ████████ ██ ███ █████████ ██████████████:

p(x)=\det(A-xI),

████ $█$ █ ██ ███████ ████████ ██████ ██████ ██████ ██ $█ .$

████, ███████ ██ ███████████

████ $█$ ███████ █████ ██████ ████████ $\mathbb {R} ^{n}$ , ███ $█$ ██ ███████ ██████ ████ ███████ ██████ ███████. ██ ████████ ████████████ ████ ███████████:

█ ███████ ████ ████████████

\Leftrightarrow

█ ███████ ████████

\mathbb {R} ^{n}

\Leftrightarrow

█ ███████ ███████ ███ ████

\Leftrightarrow

\det(A)\neq 0.

██ ███ $█$ ███████ ███████ ███ ████, ██████ ██ █████ ██ $\det(A)$ █████████ █'████████████ █████ ████: ██ ████████, ██ ████ █████ ██ ███████ ██ ███████████ █████████, ██████ ██ █ ████████ ██ █████ ██ ███████ ██ ███████████ ███████████ (██ ████████ ███ ██ ██████ █████ ████ ██████).

██████

██ ██████ ████████ $|\det A|$ ███ ████████████ █ ██████ ██ ██████ ███ ███████████████ ███████ ███ ███████ ████ █████ ███████ ██ $█$ (██ ███████████████ █ ██ ██████ ██ ███████████████ ██ $n=2$ , █ ██ ██████ ██ ██████████ $█$ ██ ████████). ███ ██ ████████, ████ ███ ██████████████ ███████:

f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}

█████████████ ██ ███ ███████ $█$ , █ ██ █████████ ████████████ $█$ ██ $\mathbb {R} ^{n}$ ██████████ ███████ ████████, ██ ██████ ████'████████ $f(S)$ █ ████ ██:

\left|\det(A)\right|\cdot \operatorname {volume} (S).

██████ ███ ██ ████████, ██ ██ ██████████████ ███████ $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ █ █████████████ ██ ███ ███████ $█$ ██ ████ $m\times n$ █ $█$ █ ██ ████████████ ██ $\mathbb {R} ^{n}$ ██████████ ███████ ████████, ██████ ██ ██████ ██ $f(S)$ █ ████ ██:

{\sqrt {\det(A^{T}A)}}\cdot \operatorname {volume} (S).

████████████████

█████████

██ █████████ █ ██ ███████ ███ ████████████ ███ ███████ ███████████████ ██ ████ $2n\times 2n.$ ██ ██████ ██ ██ █████████ ██ █████ $█$ ██ ███ ████████ █ ██████ ██ ████████████ █████ ███████.

████████ ██████████

███ ███ █████ █ ████████ ██████████ ███ ██ █████ ██████ ████████████████ ███ ████████████ █ █████ ███████ ██ ██████. ████ █████████ ████████ ████████, ███████ ██ █████████████ ████'██████████ █████ ███████ ██ ███ ███████.

████████████ ██ ██ ████████████

██ $█$ █ ███ ██████ ██████████ ██ ██████████ ██████ $█$ ███ █████ $\mathbb {K} ,$ ██████ █ █████████ ████████ ██ ████████████ ██ ██ ████████████ $f\colon V\to V$ ████████████, █████ ████ ███████ █ ███ ████ ██ $█$ . ███ $\Lambda ^{n}(V)$ ██ ██████ ██████████ █████ $n-$ ███████ ██ $█$ . ████████████ █'████████████ $T_{f}$ ██ $\Lambda ^{n}(V)$ ████████ ██ ████ ███:

T_{f}(x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{n})=f(x_{1})\wedge f(x_{2})\wedge \cdots \wedge f(x_{n}),

███ ████ $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in V$ , ██ ██████ ███ █████████ █ █████ $\Lambda ^{n}(V)$ . ██████ $\Lambda ^{n}(V)$ ██ ██████████ ██████ █ █ ███████ ███ $T_{f}$ █████ ███ █ ███ ██ ███████████████ ███ ███ ███████. ██████ ████████ ████████ ██ ████████████ ██ $█$ ██████████ █'█████████:

f(x_{1})\wedge f(x_{2})\wedge \cdots \wedge f(x_{n})=\det(f)(x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{n}),

███ ████ $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in V$ . █ ██████ █████ ███████ █████ ██ █████████ ███ ████████████, ██ ███████████ █ █████████ ███ $\det(\operatorname {id} )=1$ ████ $\operatorname {id}$ █ █'████████████ ████████ ██ $█$ . ██ $█$ █ ██ █████ ████████████ ██ $█,$ ██████:

{\begin{aligned}\det(g\circ f)(x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{n})&=(g\circ f)(x_{1})\wedge (g\circ f)(x_{2})\wedge \cdots \wedge (g\circ f)(x_{n})\\&=\det(g)(f(x_{1})\wedge f(x_{2})\wedge \cdots \wedge f(x_{n}))=\det(f)\det(g)(x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{n}),\end{aligned}}

██ ███ $\det(g\circ f)=\det(g)\det(f)$ . ██ $█$ ███ █ ██ ███████████ ██████ █'████████ ██ $█$ ██ ██████████ ████████████ ██████ ██ $█$ █ ██████ $f(x_{1}),f(x_{2}),\ldots ,f(x_{n})$ ████ ███████████ ███████████ ██████████, ███ ███████ ███ $\wedge$ █ ███ █████ ████████████ ██████████ █████ ███ $f(x_{1})\wedge f(x_{2})\wedge \cdots \wedge f(x_{n})=0$ █ ██████ $\det(f)=0$ . ██ ████████ ███ ███████ ███ ████ ██ $█$ ██ ████████████ █████ ███████ █████████ █ $█$ ████████ █ ████ ████ ████████ ███ ██ ████████████ ██ $█$ .

██████

████

████████████

(██) ███████, █. █. ███ █████, █. █. ███████████ ██████████. ███████ █. ████. ███, █-██, ████.
(██) ██████, █. "████████████." §█.█ ██ ████████████ ███████ ███ ██████████, ███ ██. ███████, ██: ████████ █████, ██. ███–███, ████.
(██) ███████, █. ███ ████████, █. ███ ████████ ███████ ███████████ ███████. ████. ████. ███████ ██, ███-███, ████.
███████ ██████ █ ████████████: ██████ ██ ████████████. ███ █████ ██ ███ ███████ ████████ (██████: █. ██████, ████)
█████████ █████████ ████████ ███ ████████████, ██ █████ - ██████████ ██████████ ███████████ ██████ (███████: █████, ████)
(██) █████████ ████████, ███████ ███ ████████████ ██ █████ ███████████ ████████████; ███████ ██ █'███████ ███ █. ███████ ██████████, ██████, ██████-█████████, ████. ███ ██████████ ██ ██ ██████ ████.
(██) █. ███████, ███████ ██ ████████████ ███ ████████████, ████ █'██████████ ███ ███████ ██████████; ███████ ██ █'████████ ███ █. █████, ██████, ██████-█████████, ████. ███ ██████████ ██ ██ ██████ ████.
(██) ███████ ███████ ██ ██████████ ████████ ██ ████████████, ████ █████ ███████████ ██ ████████████ ██████ █████████ ███ ███████████ ████████ (██████: ██████████ █████, ████)
(██) █. █. █████ █ █. █. ████████ ███ ██████ ██ ████████████ ███ █████ ████████████ (█████████: ██████████ █████, ████)

████ █████████

███████ █████████
███████ ███████████
██████ ██ ████████████ ██ █████
██████████ (██████████)
█████████ ██████████████
██████ ██ ██████
███████ ██ ███████

█████ ████████

████████████
███████████
█████████ ███████

████████████ ████████ ██ █████ ██ ██████████ «████████████»
███████████ ████████ ███████ ███ ████████████
█████████ ███████ ████████ ████████ █ █████ ████ ███ ████████████

████████████ ███████

████████████, ██ ████████.██ – ████████████ ██ ████, ████████ ████'████████████ ████████.
█████████ █████████, ████████████, ██ ████████████ ████████, ████████ ████'████████████ ████████, ████.
████████████, ██ ██████████ █████ ███████ ███████, ████████ ████'████████████ ████████, ████.
████████████, ██ ████████████ █████ ██████████, ████████ ████'████████████ ████████, ████.
████████████, ██ ██████████ ██ ████████ █ ███████, ████████ ████'████████████ ████████, ████.
(██) ███████████, ██ ████████████ ██████████, ████████████ ██████████, ███.
(██) █████ ███████████ ████████████, ██ ████ ███████, ████████ ███████.
(██) ████ █. █████████, ███████████, ██ █████████, ███████ ████████.
(██) ███████████, ██ █████████████ ██ ███████████, ████████ █ ████████ ████████████ ███████.
(██) ██████ ████'███ █████ ███████ █ ███ ████████████ ██ ████████
████████████ ███ ███████ █ ███████ ██████, ██ ████████.██ (██████████ ████'███ █████████ ██ █ ██████ ████).
(██) ██████ ██ █████████ ████████████ ███ █████████████ █████ ███████ ██ ██████ █████████, ██ ████.███.██. ███ ██████████ ██ ██ ███████ ████ (██████████ ████'███ █████████ ██ ██ ████████ ████).
(██) ███████████ ███████████ ███████ ███ ████████, ██ ██████.████████.███.
(██) ██████ ██████ ██████████, ██ ██████████.███.
███████████ ███ ████████████ █████ ███████, ██ ████████████████████.███.
(██) ██████ ███████: ████████████. ██████████ ██ █ ████████ ████ ██ ████████ ███████. ███████ ████████████ ██ ████████ ██ ██ █████ █ █████ ███████ █████████ ███ ██████.
(██) ████████ ███ ██████ ███████ ██ ███ ████████ ████ █████, ██ █████████.█████.██.██.
(██) ████████████ █████████ ██ ██ ████ ███████ ██ ███ ███ ███████ ██ █ ████ ██ █ ██████ ███████ ██████., ██ ███████.████.███.██. ███ ██████████ ██ ██ ███████ ████ (██████████ ████'███ █████████ ██ ██ ██████ ████).
(██) █████████████ █████ ██ ██████ ███ ███████████ ██ ██ ███ ██████ (████ ███████), ██ █████████████.███████.███ (██████████ ████'███ █████████ ██ ██ █████ ████).