█████████████

In de ██████████████████, een ██████████ van de ████████, is een █████████████, ████████ naar de ██████ ██████████ █████ ███████, een █████████ █████ of ████████ ████████████ die ████████ is van de █████ █████████ van een ████████ ███████. Een █████████████ is een ████████ ████ van het ██████ ███████████ ██████ en ██████ de ████████ van de ████████ ███████ en de ███████ van het ████████████████ ███████████ ████ en de ████████████████ ██████ uit naar ███████ met een ██████ of ████████ ██████ █████████.

████████ zijn de █████████ ██████ en ████ in een █████████████ ████████████ en ██████ ███████ en ██████ in een █████████████ altijd ███████ worden. In ██████████ ██████ ███████ men ██████ dat ██████████████ ████████ met ██████████ tot de ████████ █████████████ ████ zijn. ████████████ █████ in dat een █████████████ een █████████ ██████ ████████ ████, ███████ dat de ██████████ van de ███████ ██████ worden ████████ in een █████████████.

██████████████ ███████ van ██████ voor te █████ in de ████████, ███████████ en de ██████████ █████████████, ███████ als ████████████████████ ██████████████. ██████ dit ████████████ werden de ████████ ██████████████ in het ██████ █████████ van de ███ ████ ook ██████████ door █████ ███████, ██████ ███████ en ███████ █████. ██████████████ zijn █████████ ████████████ in de █████████ van ████████ ███████████████████████████, de ████████████████, de ███████-███████ (met ████████ van ████████████ in de █████████████████) en de ██████████████, die de ██████████ ████████████ █████ voor de ██████ van de ██████████████. ████ ███ ███████ ███████ '█████████████' voor het █████████ ██████ dat '███ █████████ ████ aan veel van deze █████████████ ████████████'. Het ██████ van de ████████ van de █████████████ ██████ het █████ in van een ████ ██████████ ███████ voor de ██████████████████. ████████ van de █████████ ███████████ ███████ zijn ███████████ van ██████████████ ███████ van ███████████ █████████████ ████████, ██████████, ███████-███████, █████████ uit █████████████ ████████ en █████-███████ van █████████ ████████.

███████████ ████████ ██████ een ███████████ ███ in veel ████████ van de ████████████████████. ███████ van de ████████ van ██████████ en de █████████████████ zijn ██████ in een █████████████. Op een ██████ ██████ ██████ ██████████ ██████████ op een ██████████ (het ████████ van het ███████ van de ██████████ in een ████████) een ███████████ ███ in ██████████████████████ en ██████ ████████ van de ███████. Een ███████ van een █████████████ kan █████ worden ███████ door zijn ███████████ met ██████████ tot een ███████████ van ███████████████ (een ████████████ █████), in ████████ met ████████████ ███████████ in het ████. Als deze ███████████ van ████████████████ █████████ ████████ is, ████████ dit dat een █████████████ ook ██████████ kan worden in ██████ van █████████ █████ die ███████████ █████████ zijn. ████████ ████████████ op een █████████████ zijn ████████ ████ ████████ ████████: in veel ████████ zijn het ██████████████ die de ██████ met █████████████ ████████ in █████████ ██████████ ██████████ ████████ of █████████ in een █████████ die ████████████ wordt door het ██████████ van hun ████████.

████ █████████████ is een ████████████, maar niet ████ █████████████ zijn ██████████████. Als een ████████████ een █████████████ is, kan men het ████████ ███████ van de █████████████ op ██████████ █████ █████████████ uit de ███████████.

█████████ en ███████████

█████████: ███████████ ██████

Een van de █████████ ███████████ van een █████████████ is de ███████████ ██████, die ███████ uit de ████████████████ ████████, █████████ met $\mathbb {R} ^{3}$ , en █████████ met een ████████ ███████ als ███████████ █████████. Het ████████ ███████ van ████ ████████ $█$ en $█$ is een █████ █████ $x\cdot y$ , dat ███████ aan de █████████████:

het is ███████████: $x\cdot y=y\cdot x$ ;
het is ███████ in zijn ██████, en ███████ de █████████ ook ██████, ████████: $(ax_{1}+bx_{2})\cdot y=a\ x_{1}\cdot y+b\ x_{2}\cdot y$ voor ████ █████████ $█, █$ en ████████ $█$ en $█$ ;
het is ████████-████████: voor ████ ████████ $█$ is $x\cdot x\geq 0,$ met ██████████ dan en ███████ dan als $x=0$ .

Als $█$ en $█$ worden ███████████ in ███████████ ███████████, wordt het ████████ ███████ ████████████ door

(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot (y_{1},y_{2},y_{3})=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}

████ ██████ ████████ op █████ van ████████ die, ███ als het ████████ ███████ █████████, ███████ aan deze ████ █████████████, ████ ook (█████) ████████ ███████. Een ████████████ die is █████████ met een █████████ ████████ ███████, █████ ██████ als een █████ ████████-█████████████. ████ ██████████████████ ████████-█████████████ is dus een █████████████. Het ████████████ van het ████████ ███████, dat het ████████ met de ███████████ █████████, is dat het ███████████ is aan █████ de ██████ of ████ van een ██████, █████████ door $\|x\|$ als aan de ████ $\theta$ ██████ ████ ████████ $█$ en $█$ ███████ de ███████

x\cdot y=\|x\|\,\|y\|\,\cos \theta

██████████████ ███████ in de ███████████ ██████ ██████ op de ████████████ ████████ te ███████ en over █████████ ████████ te ██████████ om te ██████ ███████████ dat ████████ ███████. Een ██████████ █████

\sum _{n=0}^{\infty }x_{n}

van ████████ in de $\mathbb {R} ^{3}$ , ███████████ ████████ als de ███ van de ███████ als een ██████ █████ van █████ ████████ ███████████, dus als:

\sum _{k=0}^{\infty }\|x_{k}\|<\infty

███ als met een █████ van █████████, ███████████ ook een ████████ ███████████ █████ ████████ naar een ████████████ in de ███████████ ██████, in de ███ dat er een ██████ $█$ is, ███████ dat:

\left\|L-\sum _{k=0}^{n}x_{k}\right\|\to 0\quad {\text{als }}n\to \infty

Deze ██████████ █████ de ████████████ van de ███████████ ██████ uit: een █████ die ████████ ███████████, ███████████ ook in ███████ ███. ██████ ████████████: ██████ █████████ is ██████████.

█████████

Een █████████████ $█$ is een █████ of ████████ ████████████ ████████ van een ████████ ███████, die ██████ een █████████ █████████ ██████ is met ██████████ tot de door het ████████ ███████ ████████████ ████. Dat wil ██████ dat ████ █████████ in $█$ ██████████ is, dus een ██████ in $█$ heeft.

De door het ████████ ███████ $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ████████████ ████ wordt ████████████ als de █████████████ ███████

\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}

en de ███████ ██████ ████ ██████ $█$ en $█$ in $█$ wordt in ██████ van de ████ ████████████ als

d(x,y)=\|x-y\|

███ ████████ van een op deze ██████ █████████████ ███████████████ is ████ ██████ met een ████████ ███████ een █████████ ██████. Zo'█ ████████-█████████████ █████ ████ ██████ als een ████████████████. Een ████████████████ wordt ███ een █████████████, ██████ zij in ██████████ ██████ ook ████████ is. ████████████ wordt ██████████ door ███████ te █████ van het ███████████████ voor ███████ in $█$ : een ████████████████ $█$ is ████████ als ██████ █████████ in deze ██████ een ██████ heeft, ████████ de ███ ███████████.

████████████ kan worden ████████████████ door de ████████ ██████████████ ████████: als een █████ van ████████ $\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}$ ████████ ███████████ in de ███ dat

\sum _{k=0}^{\infty }\|u_{k}\|<\infty

dan ███████████ de █████ in $█$ , in de ███ dat de ████████ ██████ naar een ███████ van $█$ ███████████.

██████████████ zijn, omdat het █████████ ███████████ ██████ zijn, ███ █████████ ook █████████████. Als ███████ zijn zij ████████████ █████████████, ████████ de █████████ die in de █████████ zijn ████████████, █████ de █████████████ █████ en ████████ van █████████████████, ook in ██████████████ ████ zijn ████████████. Van █████████ ██████ is de ████████ ████████ ██████████ van een █████████████ die, met het ████████ ███████ ███████████ door een ██████████, ook ████████ is, te █████ een ████████ ███████████ in een █████████ █████████ ██████, dus op zich ook een █████████████.

██████ █████████: ██████████

De █████████ $\ell ^{2}$ ███████ uit ████ █████████ █████ $z=(z_{1},z_{2},\dots )$ van ████████ ████████ ███████ dat de ███████

\sum _{n=1}^{\infty }|z_{n}|^{2}

███████████. Het ████████ ███████ van $\ell ^{2}$ wordt ████████████ door

\langle z,w\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}{\overline {w_{n}}}

███████ het ███████ ████████████ is ███████ de ███████ █████ ███████████ op █████ van de ████████████ van ██████-███████.

De ██████ is ████████, █████████ een (in ████) ████████ ███████████ █████ van █████████ uit $\ell ^{2}$ ███████████ naar een ███████ van $\ell ^{2}$ . Het ██████ is ██████████ in de ██████████ ███████, en ████ ████ dat ███████ van █████████ uit de ██████ op ████████ ██████ █████████ ██████ worden als een █████ van ████████ ████████ of als ████████ in een ██████████████████ ███████████ ██████.

████████████

███████████ aan de ████████████ van ██████████████ waren er al ██████ ██████████████ van ███████████ ███████ ██████ bij ███- en ██████████████. Met ████ het ████ van een █████████ ████████ ██████ had aan het █████ van de ███ ████ ██████ ████████ Een █████████ ████████████ is een ██████, ███████ de █████████ bij ██████ ██████ worden ████████ en ███████████████ ██████ worden met ████████ ███████ (█████ █████- of ████████ ████████), zonder deze █████████ ██████████████████ te █████████████ met ████████, █████ ███████- en ██████████████ in █████████████ ████████.

██████ ████████████ ██████████ die door ███████████ aan het █████ van de ███ ████ reeds werden ██████████, waren onder meer ███████ van █████, met ████████ van ███████, en ██████████████, Deze ███████ ██████ op ███████████ █████ worden █████████ als ████████ ███████. ████████ ██████ ████████████ bij ██████ worden ████████ of ███████████████ worden met █████████. Deze █████████ ███████ aan ████████ ████████████ ██████ die ██████ voor █████████ en ████████ █████████████████ van ███████████ ████████.

In het ██████ █████████ van de ███ ████ ██████ ██████████ ██████████████ tot de ███████████ van ██████████████ ██████. De ██████ van deze was de ████████████ die naar █████ ████ ███████ de ██████ van █████ ███████ en ██████ ███████ naar ███████████████████████, dat ████ █████████████ ███████████ █████████████ ████████ $█$ en $█$ op een ████████ $[a,b]$ een ████████ ███████

\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x

██████, dat veel van de ███████ █████████████ van het ███████████ ████████ ███████ heeft. Met ████ het ████ van een ███████ van ███████████ ████████ is van █████████. ███████ ██████ ███████ van de ████████████ van dit ████████ ███████ met het █████████████ ████████ ███████ om een ████████ te ████████ van de █████████ ████████████ voor een ████████ van de ████

f(x)\mapsto \int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y

██████ $█$ een ████████ ███████ is die ███████████ is in $█$ en $█$ . De ████████████ ████████████-████████ █████ de ███████ $█$ uit als een █████ van de ████