██████ de ███████

Na ██████████, um ██████ de ███████ é um ██████ com ███████ ███████ ████ ou ████████ que é ██████ um ██████ ███████ ████████ em ███████ à ███████ ████████ pelo ███████ ███████. Ele ██████████ a █████ de ██████ ██████████ para █████████ █████████. O ███████ ███████, que é o ███████ do ███████ ███████ do ███████ ████████, ███████ que ████████████ e ███████ █████ █████████. ████ █████, a ██████████ █████████ que ███████ ███████ ███████████ no ██████ para ████████ o ███ das ████████ do ███████. Um ██████ de ███████ é um ████ ████████ de um ██████ de ██████.

Os ███████ de ███████ foram █████████ a ██████ da ████████ ██████ do ██████ ██ por █████ ███████, ██████ ███████ e ███████ █████. Eles ███ ███████████ ██████████████ nas ███████ de ████████ ████████████ ████████, ████████ ████████, ███████ de ███████ (que ██████ ██████████ ao █████████████ de ██████ e à █████████████ de █████) e na ██████ ████████ (que █████ a ████ ██████████ da █████████████). ████ ███ ███████ ██████ o █████ ██████ de ███████ para o ████████ ████████ que ██████ a ██████ ██████ ████████ ██████████. O ███████ dos ███████ dos ███████ de ███████ █████████ uma era muito █████████ para a ███████ █████████. ████ dos ███████ █████████ ███████████ █████████, ████████ de ███████ de ███████ ███████ ███████ de ███████ ████████-███████████, ███████ de ██████████, ███████ de ███████ ███████████ em ███████ █████████████ e ███████ de █████ de ███████ ██████████.

A ████████ ██████████ ██████████ um █████ ██████████ em muitos ███████ da ██████ dos ███████ de ███████. ████████ ██████ do ███████ de █████████ e da ███ do █████████████ █████████-se num ██████ de ███████. A um █████ mais ████████, a ████████ █████████████ sobre um █████████ ██████ ██████████ um █████ █████████████ em █████████ de ██████████ ██████████ e ███████ ███████ da ██████. Um ████████ de um ██████ de ███████ pode ser ███████████████ ████████████ pelas suas ███████████ em ███████ a uma ████ ██████████, em ████████ com as ███████████ ███████████ na █████████ ████████. Quando esta ████ é █████████████ ██████████, ela ███████ ███████████ o ██████ de ███████ com o ██████ das ██████████ █████████ que ███ ████████-████████. Este ██████ ██████ é ██████████████ ████████ na ██████████ mais ██████ como o ██████ de ███████.

█████████ e ██████████

███████ █████████: ██████ ████████ ██████████

Um dos ████████ mais ██████████ de um ██████ de ███████ é o ██████ ████████ ██████████ que ████████ em ███████ ███████████████, ████████ por $\mathbf {R} ^{3}$ , e ████████ com o ███████ ███████. O ███████ ███████ ████ ████ ███████ █ e █, e ██████ um ██████ ████ █ ⋅ █. Se █ e █ ███ █████████████ em ███████████ ███████████, █████ o ███████ ███████ é ████████ por: ${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}\,.$

O ███████ ███████ ████████ as ████████████:

É █████████ em █ e █: █ ⋅ █ = █ ⋅ █.
É ██████ no seu ████████ █████████: (a█_█ + ██_█) ⋅ █ = a(█_█ ⋅ █) + █(█_█ ⋅ █) para █████████ █████████ a, █, e ███████ █_█, █_█, e █.
É ████████ ████████: para █████ os ███████ █, █ ⋅ █ ≥ █ , com █████████ se e ███████ se █ = █.

Uma ████████ sobre █████ de ███████ que, ███ como o ███████ ███████, ████████ estas ████ ████████████ é █████████ como um ███████ ███████ (████). Um ██████ ████████ ████████ com ███ ███████ ███████ é █████████ como um ██████ com ███████ ███████ (████). ████ ██████ com ███████ ███████ de ████████ ██████ é ██████ um ██████ de ███████. A ██████████████ ██████ do ███████ ███████ que o ███████ com a █████████ ██████████ é que ele está ███████████ █████ com o ███████████ (ou █████) de um █████, ████████ por $\|\mathbf {x} \|$ , ██████ com o ██████ $\theta$ entre ████ ███████ $\mathbf {x}$ e $\mathbf {y}$ ███████ da ███████ $\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|\,\cos \theta \,.$

O ███████ █████████████ no ██████ ██████████ ██████-se na ██████████ de ████████ ███████, e de ███ █████████ █████ para ████████ que os ███████ ███████. Uma █████ ██████████ $\sum _{n=0}^{\infty }\mathbf {x} _{n}$ ███████████ de ███████ em █^█ é █████████████ ███████████ ████████ que a ████ dos ████████████ ████████ como uma █████ █████████ de ███████ █████: $\sum _{k=0}^{\infty }\|\mathbf {x} _{k}\|<\infty \,.$ █████ como numa █████ de █████████, uma █████ de ███████ que ████████ █████████████ ██████ ████████ para █████ █████ ██████ █ no ██████ ██████████, no ███████ de que $\lim _{N\to \infty }\left\|\mathbf {L} -\sum _{k=0}^{N}\mathbf {x} _{k}\right\|=0.$ Esta ███████████ ████████ a ██████████ do ██████ ██████████: que uma █████ que ████████ █████████████ ██████ ████████ no ███████ █████████.

Os ███████ de ███████ ███ ██████████████ ████████████ sobre os ███████ █████████. O █████ ████████ ████████ por █ é ████████ com uma █████ de █████████, o ██████ ████████ |█|, que é ████████ como a ████ ████████ do ███████ de █ pelo seu ████████ █████████: $|z|^{2}=z{\overline {z}}\,.$

Se █ = █ + ██ é uma ████████████ de █ nas suas ██████ ████ e ██████████, █████ o ██████ é o ███████████ ██████████ █████████████ █████: $|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,.$

O ███████ ███████ de um ███ de ███████ █████████ █ e █ é o ███████ de █ com o ████████ █████████ de █: $\langle z,w\rangle =z{\overline {w}}\,.$

Este tem █████ ████████. A █████ ████ de ⟨█, █⟩ ███████ o ███████ ███████ ██████████ █████████████ █████.

Um ███████ ███████ é o ██████ █^█ █████ █████████ ███ █████ de ███████ █████████ █ = (█_█, █_█). █████ um ███████ ███████ de █ com █████ █████ █████ ████ █ = (█_█, █_█) é ████ por $\langle z,w\rangle =z_{1}{\overline {w}}_{1}+z_{2}{\overline {w}}_{2}\,.$

A █████ ████ de ⟨█, █⟩ é █████ o ███████ ███████ ██████████ █████████████████. Este ███████ ███████ é ██████████ █████████, o que █████████ que o █████████ da █████ de █ e █ é o ████████ █████████: $\langle w,z\rangle ={\overline {\langle z,w\rangle }}\,.$

█████████

Um ██████ de ███████ é um ██████ com ███████ ███████ ████ ou ████████ que é ██████ um ██████ ███████ ████████ em ███████ à ██████ de █████████ ████████ pelo ███████ ███████.

█████ que um ██████ ████████ ████████ █ é um ██████ com ███████ ███████ ████████ █████████ que ██████ um ███████ ███████ $\langle x,y\rangle$ ██████████ um ██████ ████████ a ████ ███ de █████████ $█, █$ de █ que ████████ as █████████ ████████████:

O ███████ ███████ é █████████ █████████; isto é, o ███████ ███████ de um ███ de █████████ é █████ ao ████████ █████████ do ███████ ███████ dos █████████ ████████: $\langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}\,.$ ██████████, isto ███████ que $\langle x,x\rangle$ é um ██████ ████.
O ███████ ███████ é ██████ no seu ████████ █████████. Para █████ os ███████ █████████ $a$ e $█,$ $\langle ax_{1}+bx_{2},y\rangle =a\langle x_{1},y\rangle +b\langle x_{2},y\rangle \,.$
O ███████ ███████ de um ████████ ███████ mesmo é ████████ ████████: ${\begin{alignedat}{4}\langle x,x\rangle >0&\quad {\text{ se }}x\neq 0,\\\langle x,x\rangle =0&\quad {\text{ se }}x=0\,.\end{alignedat}}$

█████ das ████████████ █ e █ que um ███████ ███████ ████████ é ██████████, ██████ ███████ de ██████ █████████, no seu ███████ █████████, ████████████ que $\langle x,ay_{1}+by_{2}\rangle ={\bar {a}}\langle x,y_{1}\rangle +{\bar {b}}\langle x,y_{2}\rangle \,.$

Um ██████ com ███████ ███████ ████ é ████████ da █████ █████, ██████ que █ é um ██████ ████████ ████ e o ███████ ███████ ██████ ███████ █████. ███ ███████ ███████ ████ uma █████████ ████████ e $(H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ ███████ um ███████ ████.

A █████ é a ██████ de █████ ████ $\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}\,,$ e a █████████ $█$ entre ████ ██████ $█, █$ em █ é ████████ em ██████ da █████ por $d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}\,.$ ████, $d(x,y)$ é uma ██████ de █████████, ████████████ █████████████ que é █████████ em $█$ e $█,$ em ███████ █████ que a █████████ entre $█$ e ele ███████ é ████, e ████ █████████ a █████████ entre $█$ e $█$ ████ ser ████████, e por ███ que a ████████████ ██████████ se ████████, ████████████ que o ███████████ de um ████ de um █████████ ███ ███ pode ███████ a ████ dos ████████████ dos ██████ ████ █████: $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\,.$

Esta ██████ ███████████ é, em ██████ ███████, uma ████████████ da mais ███████████ ████████████ de ██████-███████, que ██████ $\left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|\|y\|$ com █████████ se e ███████ se $█$ e $█$ █████ ███████████ ███████████.

Com uma ██████ de █████████ ████████ █████ █████, ████████ ██████ com ███████ ███████ é um ██████ ███████, e às █████ é █████████ como um ██████ ███-███████. ████████ ██████ ███-███████ que ████ ██████████████ ██████ um ██████ ████████ é um ██████ de ███████.

A ██████████ de █ é ████████ ██████ uma █████ do ████████ de ██████ para ██████████ em █: um ██████ ███-███████ █ é ████████ se ████ █████████ de ██████ ████████ em ███████ a esta █████ para um ████████ no ██████. A ██████████ pode ser █████████████ pela ████████ ████████ ███████████: se uma █████ de ███████ $\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}$ ████████ █████████████ no ███████ de que $\sum _{k=0}^{\infty }\|u_{k}\|<\infty \,,$ █████ a █████ ████████ em █, no ███████ de que as █████ ████████ █████████ para um ████████ de █.

Como um ██████ ███████ ████████, os ███████ de ███████ ███ por █████████ ██████ ███████ de ██████. Como ███, eles ███ ███████ █████████ ███████████, nos quais as ██████ ███████████ como a ████████ e o ██████████ de ████████████ █████ ███ █████████. De ████████ ███████████ é a █████ de um █████████ ██████ ███████ de um ██████ de ███████ que, com o ███████ ███████ ████████ por █████████, é ██████ ████████ (█████ um ████████ ███████ num ██████ ███████ ████████) e, ████████, um ██████ de ███████ por ███████ ███████.

███████ ███████: ███████ de ██████████

O ██████ de ██████████ ${\textstyle \ell ^{2}}$ ████████ em █████ as ██████████ █████████ █ = (█_█, █_█, ...) de ███████ █████████ ████ que a █████ de suas ██████ ao ████████ ████████: $\sum _{n=1}^{\infty }|z_{n}|^{2}$

O ███████ ███████ em █^█ é ████████ por: $\langle \mathbf {z} ,\mathbf {w} \rangle =\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}{\overline {w}}_{n}\,,$

A █████ para o ███████ ███████ ████████ como ████████████ da ████████████ de ██████-███████ e da ████████████ ████████ das ████ ██████ de ██████ ao ████████.

A ██████████ do ██████ ████████-se desde que, ██████ que uma █████ de █████████ de ${\textstyle \ell ^{2}}$ ████████ █████████████ (em █████), █████ ela ████████ para um ████████ de ${\textstyle \ell ^{2}}$ . A █████ é █████████ na ███████ ██████████, e ███████ que ██████ ███████████ de █████████ do ██████ █████ ███████████ com a █████ ██████████ que as ██████ de ███████ █████████ (ou ███████ num ██████ ██████████ de ████████ ██████).

████████

█████ do ███████████████ dos ███████ de ███████, ██████ ██████████████ dos ███████ ███████████ eram ██████████ pelos ███████████ e ███████. Em ██████████, a █████ de um ██████ ██████ ████████ (██████ ████████) █████ ███████ ██████ █████ no █████ do ██████ ███: este é um ██████ █████ █████████ █████ ser ███████ e █████████████ por █████████ (████ como █████ ou █████████) sem ███████████████ ███████████ estes █████████ com ███████ "███████████", ████ como ███████ de ███████ e de ███████ em ████████ ███████. ██████ ███████ █████████ pelos ███████████ na ███████ do ██████ ██, em ██████████ os ███████ de ██████████ (█████████ ██████) e os ███████ de ███████, █████ ser ████████████ ████████ como ███████ ████████. As ███████, por ███████, █████ ser ███████ ou █████████████ por █████████ ██████████, e estas █████████ ████████ às ████ ██████████ ███████████ pela ██████ e pela █████████████ ███████ de ███████ █████████.

Na ████████ ██████ do ██████ ██, ████████████████ █████████ ███████ à ██████████ dos ███████ de ███████. A ████████ delas foi a ██████████, que ██████ ███████ o ██████ de █████ ███████ e ██████ ███████ sobre as ████████ █████████, de que ████ ███████ de █████ ████ ████████-███████████ █ e █ num █████████ [a, █] têm um ███████ ███████

\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x

que tem ██████ das ████████████ ██████████ do ███████ ███████ ██████████. Em ██████████, a █████ de uma ███████ █████████ de ███████ tem ███████████. ███████ ████████ a ██████████ █████ ███████ ███████ com o ███████ ███████ █████ para ██████ um ███████ da ████████████ ████████ para um ████████ da █████

f(x)\mapsto \int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y

onde █ é uma ██████ ████████ █████████ em █ e █. A ████████ em ███████████ ██████████ ████████ a ██████ █ como uma █████ da █████

K(x,y)=\sum _{n}\lambda _{n}\varphi _{n}(x)\varphi _{n}(y)

onde as ███████ █_█ ███ ██████████ no ███████ de que ⟨█_█, █_█⟩ = █ para █████ os █ ≠ █. Os ██████ ███████████ █████ █████ ███ por █████ █████████ como ████████ de ███████ ███████████. No ███████, ███████ █████████ de ███████████ que ██████ em █████████ num ███████ ████████ para uma ██████ ████████-██████████: o ███████████ que █████, que ███████ a ████████████, é a ██████████.

O ███████ ███████████████ foi o ████████ de ████████, uma ███████████ ao ████████ de ███████ ███████████ por █████ ████████ em ████. O ████████ de ████████ ████████████ a ██████████ de uma ██████ muito mais █████ de ███████. Em ████, ███████ █████ e █████ █████████ ███████ ████████ de █████ ████████████ que o ██████ █^█ de ███████ ████████-███████████ de ████████ é um ██████ ███████ ████████. Como ████████████ da █████████ entre a █████████ e a ██████████, os ██████████ do ██████ ███ de ██████ ███████, █████████ ██████ e ████-███████ ████████ sobre ██████ ███████████████ ███████████ ██████████ para estes ███████ mais ██████, ██████████ num ███████ ██████████ e █████████ █████ █████████████ █████████ como o ███████ de █████-███████.